依据概念活学会用

学习了“锐角三角函数”，我们知道了正切、正弦、余弦等三角函数的概念，和老师还一起探索了30°、45°、60°角的三角函数值.应用探求这些值的方法，我们还能够将平时经常遇到的15°、36°特殊角放到适当的三角形中，求得它们的三角函数值.

一、 求15°角的三角函数值

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，不妨设∠A=15°，则∠ABC=75°.在∠ABC的内部作∠ABD=15°，∠ABD的一边BD交AC于点D，则∠BDC=30°，DB=DA.

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可以知道BD=2BC.

设BC=k，则BD=2k，AD=2k.

在Rt△DBC中，∠DCB=90°，

所以CD==k，

AC=AD+CD=（2+）k.

同样的方法，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

AB==（+）k，

所以sinA==

=，

cosA==

=，

tanA===2-.

因此，我们可以得到15°角的三角函数值为：

sin15°=，

cos15°=，

tan15°=2-.

二、 求36°角的三角函数值

如图2，在△ABC中，AC=BC，不妨设∠C=36°，则∠ABC=∠CAB=72°.作∠CAB的角平分线AD交BC与点D.

因此∠BAD=∠CAD=36°，则∠C=∠CAD，CD=AD.又∠ADB=∠ABC=72°，则AB=AD，所以CD=AD=AB.由图形中的∠BAD=∠C=36°，∠B=∠B，根据三角形相似的条件，可以知道其中的△ABC∽△DBA，所以=，即AB2=BC·DB，则CD2=BC·DB.

由此，根据黄金分割点的定义知道点D就是线段BC的黄金分割点，

所以=，=.

设BC=2k，则CD=（-1）k，DB=（3-）k，AC=2k.

过点A作AH⊥BC，垂足为H.由AD=AB，可得DH=k，CH=CD+DH=k.

在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AH==k，

所以sinC==

=，

cosC===，

tanC==

=.

因此，我们可以得到36°角的三角函数值（利用计算器求得它们的近似值）为：

sin36°=≈0.587 7，

cos36°=≈0.809 0，

tan36°=

≈0.726 5.

通过对15°、36°特殊角三角函数值的求解，我感悟到解决数学问题时，不仅要记住数学概念，更重要的是抓住概念本身所隐含的方法和解题策略，同时还要联系所学的数学知识灵活应用，融会贯通.

王老师点评：张锦阳同学爱动脑筋，勤于思考，不停留于课本中介绍的30°、45°、60°角三角函数值的理解和掌握，能够灵活应用所学的数学知识对平时常见的角度进行深入探讨.他应用三角函数概念本身隐含的化归思想，将15°的特殊角放在直角三角形中，利用角度之间的关系构造等腰三角形和30°角，进而求得15°的特殊角的三角函数值；将36°的特殊角放在黄金三角形中，利用角度之间的关系构造相似三角形揭示边与边之间的数量关系，并化归为直角三角形，进而求得36°的特殊角的三角函数值.小作者对于自己目前无法化简的二次根式还利用计算器求得近似值，更体现小作者解题的严谨性.

（指导教师：王竞进）