概率中易混淆概念的对比与思考

李先永

概率在日常生活中应用非常广泛，概率题也是中考的必考内容.概率中的一些问题，看似相同，实则不同，容易混淆.因此在解题时，要善于对比思考，推敲它们之间的区别与联系，提高解题能力.

一、 “随机事件”与“等可能性”混淆

等可能性事件是一种特殊的随机事件，它依赖于随机事件，随机事件不一定是等可能性事件.

例1 在一块平整的地上抛一枚质地均匀的图钉，这个随机试验的所有的可能结果有哪几种？它们是等可能性的吗？

【解析】这个随机试验的所有的可能结果有2种：钉帽向上，钉尖向上.它们不是等可能性的.因为虽然图钉质地是均匀的，但是钉帽面积远远大于针尖面积，所以钉尖向上的可能性要远远大于钉帽向上的可能性，所以它们不是等可能性的.

【点评】本题有的同学会和抛一枚质地均匀的硬币这个随机事件混淆.错误地认为2种结果是等可能性的.要特别注意有的随机试验结果不一定是等可能性的.

二、 随机事件发生的“频率”与“概率”混淆

例2 下列两个命题中错误的是（ ）.

（1） 抛掷100次硬币，出现正面向上的频率为0.4，则该试验中，硬币正面向上的次数为40次.

（2） 若一批产品的次品率为0.1，则从该产品中随机抽取100件，一定会有10件次品.

【解析】随机事件在一次试验中发生的频率=，它随着试验次数的改变而改变.在大量重复试验中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近于某个常数，这个常数就是随机事件发生的概率.虽然事件发生的概率反映了事件发生的必然规律，但事件的发生又带有偶然性.在命题（2）中次品率为0.1，不等于100件产品中一定有10件次品，故（2）是错误的.

练习 下列两个命题中错误的是（ ）.

（1） 当试验次数n给定后，事件A出现的频率与事件A出现的次数成正比.

（2） 如果某事件发生的概率是，则该事件在n次试验中至少发生一次.

答案：（2）.

三、 抽样中的“放回”与“不放回”混淆

例3 现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是_______.

【解析】本题可用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下：

由列表可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种，则P==.

例4 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为.

（1） 袋里红球有多少个？

（2） 从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率.

【分析】（1） 设红球的个数为x个，根据从中任意摸出1个球，是白球的概率为列方程求解即可.

（2） 根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.

解：（1） 红球的个数为x个，

则根据题意，得=，

解得x=1（检验合适），

∴布袋里红球有1个.

（2） 树状图如下：

∵两次摸球共有12种等可能结果，两次摸到的球都是白球的情况有2种，

∴两次摸到的球都是白球的概率为=.

上述两例可看成同是“随机摸球问题”.例3中可把卡片看成球，每次抽取一张卡片放回看成取出的球放回，袋中的球始终保持不变，故每次取球是相互独立的，是独立重复试验；例4中取出的球不放回，每取出一个球后，袋中的球就少一个.一般地，题目中会点明用什么方法抽样，例如：n人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回.这就是需要放回的时候.如果条件是“2人参加摸球游戏，每人摸两个球”，这里虽然没有说是放回还是不放回，但是也应当作不放回处理.

四、 列表法与树状图法

当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.涉及两步实验求概率问题也可以用列表法.

树状图法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n.涉及多步实验求概率问题都可以用树状图法.

当有两个元素时，既可用树状图法列举，也可以用列表法列举，同时要注意具体问题具体分析，没有统一的模式.

例5 活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球）

活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：___→___→___，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于_______，最后一个摸球的同学胜出的概率等于_______.

猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系.你还能得到什么活动经验？（写出一个即可）

【分析】（1） 应用树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可.

（2） 首先对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，然后应用树状图法，判断出第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学胜出的概率各等于多少即可.

（3） 首先根据（1）（2），猜想这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出），然后总结得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关.

解：（1） 如图1，甲胜出的概率为：P（甲胜出）=.

（2） 对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，画树状图如图2，则第一个摸球的丙同学胜出的概率等于，最后一个摸球的乙同学胜出的概率等于=.

（3） 这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：

P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）.

得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关.（答案不唯一）

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）