携手走进“统计”王国

马晓铭

引例：小红爸爸的公司有15名职工，对外招聘时称该公司职工的月平均工资超过2 000元.请你分析下面的统计表.

假如某人想选择一个月工资在2 000元左右的工作岗位，到这个公司做一名职员可以吗？你想知道为什么吗？

在八年级的时候同学们学习了数据的收集、整理和描述.今天就让我们一起再次走进统计的世界，来学习数据的集中趋势和离散程度吧！

一、 认识“三数”

1. 平均数

（1） 算术平均数

一般地，n个数x1，x2，…，xn的算术平均数为，简称为平均数.

（2） 加权平均数

一组数据的平均数不仅与各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.加权平均数的计算方法：将各数值乘相应的权数，然后求和得到总体值，再除以总的单位数.

例1 某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（3）班的演唱打分情况为：89、92、92、95、95、96、97，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均数是最后得分，则该班的得分为_______.

【分析】先去掉一个最低分和一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可.

【解答】由题意知，最高分和最低分分别为97和89，则余下的分数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94.故答案为：94.

【点评】本题考查了算术平均数，解答的关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式.

例2 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算总成绩.孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_______分.

【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可.

【解答】∵笔试按60%、面试按40%，

∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88（分），

故答案为：88.

【点评】此题考查了加权平均数，解题关键是根据加权平均数的计算方法列出算式，从而得出最终结果.

2. 中位数

将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数.

例3 数据1，2，3，3，5，5，5的中位数是_______.

【分析】根据中位数的定义，即将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数即是所求答案.

【解答】排序后最中间的数是3，则中位数是3.

【点评】将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.

3. 众数

在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.

例4 在我校体育模拟测试中，九（1）班6位同学的立定跳远成绩（单位：米）分别是：1.83，1.85，1.96，2.08，1.85，1.98，则这组数据的众数是（ ）.

A. 1.83 B. 1.85

C. 2.08 D. 1.96

【分析】根据众数的定义求解即可.

【解答】这组数据出现次数最多的是：1.85，共两次，故众数为：1.85.选B.

【点评】本题考查了众数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据.

【总结】这三个统计量反映了一组数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表.平均数与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会引起平均数的变动.主要缺点是易受极端值的影响，比如引例中这家公司的员工月平均工资为2 187.5元，所以，该公司对外招聘时称职工的月平均工资超过2 000元.但想选择一个月工资在2 000元左右的工作岗位，到这个公司做一名职员是不可以的，这个公司员工的工资多数是1 000元，只有个别经理才多于2 000元.这组数据的中位数和众数都是1 000元，对于应聘者来说最能反映这家公司员工月工资集中趋势的统计量是中位数或众数.因为中位数或众数反映了大多数员工的月工资水平，而平均数受个别数据的影响较大.

二、 认识“三差”

1. 极差

极差就是一组数据中最大值和最小值的差.极差反映了一组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度.

例5 为了考察某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：

16 9 14 11 12 10 16 8 17 19

则这组数据的中位数和极差分别是（ ）.

A. 13，16 B. 14，11

C. 12，11 D. 13，11

【分析】根据中位数及极差的定义，结合所给数据即可作出判断.

【解答】将数据从小到大排列为：8，9，10，

11，12，14，16，16，17，19，中位数为：13；

极差=19-8=11.故选D.

【点评】此题考查中位数和极差的概念，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）.

2. 方差

我们用一组数据与它们平均数的差的平方的平均数，即s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]来描述这组数据的离散程度，叫做这组数据的方差. 方差是用来衡量一组数据波动大小的量.方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

例6 数据-2，-1，0，3，5的方差是_______.

【分析】先要根据平均数的计算公式计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可.

解：这组数据-2，-1，0，3，5的平均数是（-2-1+0+3+5）÷5=1，

则这组数据的方差是：

×[（-2-1）2+（-1-1）2+（0-1）2+（3-1）2+（5-1）2]=.故答案为：.

【点评】本题考查方差，掌握平均数的计算公式和方差公式是解题的关键.

例7 甲乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）：

经计算，甲=10，乙=10，试根据这组数据估计_______中水稻品种的产量比较稳定.

【分析】根据方差公式s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn2]分别求出两种水稻的产量的方差，再进行比较即可.

【解答】甲种水稻产量的方差是：[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]=0.02；

乙种水稻产量的方差是：[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]=0.244，

∴0.02<0.244，

∴产量比较稳定的水稻品种是甲.

故答案为：甲.

【点评】此题考查方差，用到的知识点是方差的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小.

3. 标准差

方差是一个被广泛用来描述数据离散程度的量，但方差以原始数据的单位的平方作为单位，所以在统计中，也用方差的算术平方根来描述数据的离散程度，并把它称为标准差，记作s.

【总结】极差、方差、标准差这三个统计量反映了一组数据的离散程度，用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小. 极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据的离散程度简单明了.由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅仅由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端值在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映一组数据的实际离散程度.而方差和标准差能非常精确地反映一组数据的离散程度，在许多实际问题中，研究方差、标准差有着重要意义.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）