弯曲的时空

赵峥，1967年毕业于中国科技大学物理系，1981年于北京师范大学天文系获硕士学位，1987年于布鲁塞尔自由大学获博士学位。曾任北京师范大学研究生院副院长、物理系主任、中国引力与相对论天体物理学会理事长、中国物理学会理事。现为北京师范大学物理系教授，理论物理博士生导师、教育学博士生导师。

爱因斯坦猜测，万有引力可能是一种几何效应，可能是时空弯曲的表现。他推测，物质的存在造成了时空弯曲。由于万有引力只是时空弯曲表现出的几何效应，所以不应该把万有引力看作真正的力。单纯在万有引力作用下的质点运动，例如行星绕日运动、地球上的自由落体运动，都应该看作是不受外力的惯性运动。做惯性运动的“自由”质点，当然应该沿时空中的“直线”进行，也就是说自由质点应该沿短程线运动。

爱因斯坦觉得，建立新理论的关键是寻找两个方程。一个是物质如何决定时空弯曲的方程，他称其为场方程；另一个是不受外力的自由质点在弯曲时空中做惯性运动的方程，他称其为运动方程。

爱因斯坦在格罗斯曼的帮助下，很快掌握了黎曼几何的基本知识，并投入了寻找场方程的努力。这一工作耗费了爱因斯坦很大的精力和漫长的时间。他设想，方程的左端应该是描述时空曲率的项，右端应该是描述物质存在状态的项，即：

时空曲率=物质分布

右端的物质项用时空中能量和动量的分布来表述，其形式比较容易猜测，爱因斯坦很快就写了出来。左端的曲率项的形式却很难猜想，他在格罗斯曼的帮助下尝试了2年，也没有找到正确的形式。

1915年，爱因斯坦移居德国，得以与著名数学家希尔伯特交往。他在与希尔伯特几次讨论后，当年底就写出了场方程左端的正确形式，从而得出了完整的场方程，并用此方程解释了水星轨道近日点的进动，终于建立起了他的新理论——广义相对论。

在广义相对论诞生前后的几个月内，爱因斯坦与希尔伯特之间产生了竞争。在与爱因斯坦的讨论中，希尔伯特对爱因斯坦的新理论产生了兴趣，他也开始寻找场方程的正确形式。希尔伯特不愧是数学大师，他很快就赶了上来。在爱因斯坦把自己的最终论文投给杂志社的同时，希尔伯特也投了稿。

爱因斯坦的稿件是1915年11月25日完成并投稿的，发表于当年的12月5日。希尔伯特的稿件是1915年11月20日完成并投稿的，发表于1916年的3月1日。

希尔伯特论文的发表时间比爱因斯坦晚，但投稿时间比爱因斯坦早。应该说明的是，爱因斯坦的论文中包括了场方程的正确形式，希尔伯特的稿件中最初没有给出场方程。不过，在爱因斯坦的论文刊出后，希尔伯特在对自己稿件的清样做修改时，加上了正确的场方程。希尔伯特是在看到了爱因斯坦的论文之后，才明确写出场方程的，而且他对场方程右端物质项的理解有错误。

此外，爱因斯坦在自己的论文发表之前，就用场方程得出了水星轨道近日点进动的正确值，并写信告诉了希尔伯特，希尔伯特还回信对爱因斯坦表示了祝贺。虽然二人在广义相对论的发现权方面有过小的误会，但希尔伯特很快就表示：爱因斯坦是广义相对论的唯一创建人。

爱因斯坦在创建广义相对论的道路上有过多次物理思想的重大创新。他于1905年开始研究万有引力，1907年提出等效原理，1911年得出光线在引力场中弯曲的结论，1913年与格罗斯曼一起把黎曼几何引进新理论的研究。应该强调的是，猜测到万有引力是一种几何效应，是时空弯曲的表现，这一点是非常难得的。所以，爱因斯坦后来曾经自豪地说：“狭义相对论如果我不发现，5年之内就会有人发现；广义相对论如果我不发现，50年之内也不会有人发现。”

希尔伯特是在1915年才开始参与新理论研究的，他对新理论的物理本质的理解当然不如爱因斯坦，但是他与爱因斯坦的讨论，肯定对后者找到场方程的正确形式有启发和帮助，否则不会在几次讨论之后，爱因斯坦就得到了几年没有找到的场方程。

所以，虽然广义相对论是爱因斯坦一个人创建的，但是希尔伯特对他的帮助也是难能可贵的。如果没有希尔伯特在数学上的帮助，也许广义相对论的建立还要推迟一段时间。应该说明的是，他们二人由于误会产生的小火花很快就平息了，此后二人一直是要好的朋友。

场方程是广义相对论的基本方程，又称爱因斯坦方程，描述物质如何决定时空弯曲。

广义相对论的另一个重要方程是运动方程。爱因斯坦设想此方程应该表述不受外力的自由质点在弯曲时空中的运动。因为万有引力不算力，运动方程描述的应该是质点的惯性运动，当然应该沿短程线跑。数学家们早就得出了黎曼时空中的短程线方程，爱因斯坦就把该方程引用过来，作为广义相对论的运动方程。所以，给出运动方程并没有耗费爱因斯坦多少时间。

需要说明的是，广义相对论用的几何与最初的黎曼几何有差别，本质上是一种伪黎曼几何。在伪黎曼几何中，短程线可能是两点间最短的一条，也可能是最长的一条。所以广义相对论中的短程线，是两点间长度取极值的线，它可能是两点间最短的一条线（取极小值时），也可能是两点间最长的一条线（取极大值时）。

一开始，爱因斯坦认为广义相对论的基本方程有两个，即场方程和运动方程。20世纪30年代，爱因斯坦和前苏联科学家福克分别独立证明了运动方程可以从场方程推出，所以广义相对论的基本方程只有一个，那就是场方程。

那么，如何理解时空弯曲呢？我们简单说明一下。

一个人手托一个物体让它不动，在牛顿力学看来，物体之所以不动，是因为物体所受的万有引力与手托它的力平衡，合力为零，所以它处在惯性状态（静止）。人一松手，物体就自由下落，牛顿力学认为这时物体在万有引力作用下做匀加速直线运动。从广义相对论看来，万有引力不是力。手托着不下落的物体只受到一个外力：人用手托它的力。它虽然静止，但由于受到外力（托力），所以并不是处在惯性状态。人一松手，物体开始匀加速下落。由于万有引力不是力，所以下落物体并未受到任何外力，它的运动属于惯性运动。所以自由落体运动是弯曲时空中的惯性运动。

牛顿力学认为，行星绕日的运动，是在万有引力作用下的变加速运动。广义相对论认为万有引力不是力，所以行星没有受到力，它的绕日运动是惯性运动。因此，行星的运动轨迹是短程线。但要注意，通常所说的行星绕日的椭圆轨道并不是短程线。椭圆轨道是三维空间中的轨道。这里说的短程线是四维时空中的曲线。也就是说，行星绕日运动是沿四维时空中的短程线的惯性运动。如图1所示，这条短程线是四维时空中的螺旋线，此螺旋线在三维空间中的投影就是我们通常所说的行星椭圆轨道（图1）。

有人用床单作比方解释时空弯曲。如果4个人各持床单的一角拉紧，床单就成为1个平直的二维空间。把1个小球放在床单上，它静止不动。一扔，它就做匀速直线运动。这就好比平直空间中的惯性运动状态（图2）。

在绷紧的床单中央放1个铅球，床单就凹下去了，成为1个二维的弯曲空间。再把1个小球放在床单上，它将不会静止，会自然地滚向铅球。我们可以把铅球看作地球，把小球看作人手托着的物体，你松手后小球向铅球滚去，就好比人松手后原来手托的物体会落向地球。为什么小球会滚向铅球去呢？按照牛顿力学的解释，铅球（地球）用万有引力吸引小球（物体）。用爱因斯坦的广义相对论解释，则是铅球（地球）的存在，让床单（时空）变弯了，在弯曲时空中，小球（物体）做惯性运动，落向了铅球（地球）。

也可把铅球看作太阳，小球看作地球。在床单上把小球横向一扔，它就会围着铅球转动，不会跑掉。为什么不会跑掉呢，地球为什么不飞离太阳呢？按照牛顿理论，这是因为铅球（太阳）用万有引力吸引着小球（地球）；按照广义相对论，则是铅球（太阳）的存在使床单（时空）变弯了，由于床单（时空）弯曲了，所以小球（地球）做惯性运动，围着铅球（太阳）转，不会逃离铅球（太阳）。

本文节速自上海教育出版杜出版的（爱因斯坦与相对论——写在广义相对论创建100周年之际），有删改。