日历中的学问

高峰

日历与人们的日常生活密切相关，蕴涵着丰富的数学问题。大家有没有发现日历中的数学知识呢？

例1 在如图1所示的某月日历中，用一个长方形的方框圈出任意3×3个数。

图1

（1）如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为54，那么这9个数的和为                ，在这9个日期中，最后一天是                号;

（2）在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为207”的9个数？如果能，请求出这9个日期最后一天是几号;如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出;如果能，请推测圈出的9个数中最后一天是星期几。

【解析】（1）我们可以设中间的数字为a，根据日历中数之间的关系，得到其余两个数分别为（a-6）、（a+6），由3个数的和为54，得（a-6）+（a+6）+a=54，所以a=18，即中间的数是18。再根据9个数的和是中间数的9倍，可以知道这9个数的和是18×9=162，并且最后一天是18+1+7=26（号）。

（2）能。设中间的数为x。根据9个数的和是中间数的9倍可以得9x=207，所以x=23。做完还需检查一下，中间数是23，这个月是可以框出3×3九个数的，故9个数中最后一天是31号，星期四。

【点评】同学们可牢记2×2、3×3的几个数之间的规律，以增加解题的速度。第（2）问算出中间数时，要检查一下，在这个月是否可以框9个数，在例2中我们将体会到不能的情况。

例2 把正整数1，2，3，4……排列成如图2所示的表，从上到下分别称为第1行、第2行……，从左到右分别称为第1列、第2列……用图3所示的方框在图2中框住16個数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D。 设A=x。

图2                                  图3

（1）在图2中，2017排在第                行第                列。

（2）A-B+C-D的值是否为定值？如果是，请求出它的值;如果不是，请说明理由。

（3）将图2中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变。

①设此时图2中排在第m行第n列的数（m、n都是正整数）为w，请用含m、n的式子表示w;

②此时A+B-C-D的值能否为3918？如果能，请求出A所表示的数;如果不能，请说明理由。

【解析】（1）每一行都是8个数，用2017除以8得252余1，说明2017在253行第1列。

（2）观察图2的数字规律，再根据图3中A、B、C、D的位置，若设A=x，那么我们可以得到B=x+24，C=x+27，D=x+3，则A-B+C-D=x-（x+24）+（x+27）-（x+3）=x-x-24+x+27-x-3=0，所以A-B+C-D的值为定值，这个定值为0。

（3）①方法一：若n是奇数，w=-n-8（m-1）=-n-8m+8;

若n是偶数，w=n+8（m-1）=n+8m-8。

方法二：w=（-1）n·（n+8m-8）。

②不能。理由如下：若A+B-C-D=3918，结果是正数，从四个数位置上看出A、B 与C、D异号，说明此时A、B必是正数，C、D是负数。因为A=x，则B=x+24，C=-（x+27），D=-（x+3）。所以A+B-C-D=x+x+24+x+27+x+3=4x+54=3918，解得x=966。因此A所表示的数应为966。因为966=8×120+6，说明此时A在第121行第6列。根据图3四个数的位置，那么D 、C就在第9列了，但表格只有8列，实际上是框不到C、D的，不符合实际，所以A+B-C-D的值不能为3918。

【点评】此题是日历题的变形，4×4数中找规律，难度逐步增大。第（3）问中求出x=966时，很多同学可能就直接回答“能”了，此时还需考虑到实际情况。我们通过计算发现A在第6列，那么将框不到C、D这两个数，所以和不能等于3918。考虑到实际情况，才能做对。同学们在解题过程中要注意“陷阱”，做到全面思考，不留遗憾。

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区励才实验学校）