巧用类比　学好分式

刘春花

类比法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。类比分数研究分式是便捷而有效的学习方法。

一、类比法学习分式概念

例1 要使分式[12-x]有意义，则x的取值范围是              。

【解析】分数的分母不能为0，类比可得分式的分母不能为0，从而x≠2。

例2 化简：[a-2a-1a]÷[a2-1a]=

。

【解析】类比分数的运算法则和混合运算的顺序，可得分式的运算法则和混合运算法则。由此化简可得：原式=[a2a-2a-1a]÷[a2-1a]=[（a-1）2a]·[a（a+1）（a-1）]=[a-1a+1]。

【点评】用类比分数的方法学习分式的定义、性质以及运算法则，事半功倍。

二、类比法突破解题难点

例3 我们把分子为1的分数叫作单位分数，如[12]，[13]，[14]……任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如[12]=[13]+[16]，[13]=[14]+[112]，[14]=[15]+[120]……

（1）根据对上述式子的观察，如果，[15]=[1○]+[1◇]，那么请写出○、◇所表示的数;

（2）进一步思考，单位分数[1n]（n≥2且为整数）=[1△]+[1☆]，请写出△、☆所表示的式，并加以验证。

【解析】观察给出的式子的规律，等号右边的第一个数的特征明显，它的分母是左邊第一个数的分母加1，因此，第（1）问中，当[15]在等号左边时，等号右边第一个数是[16]，那么后面的数可由[15]-[16]得到，即[130]。第（2）问可类比第（1）问的解决方法，先确定[1n]后的第一个数[1n+1]，再用[1n]-[1n+1]=[1n（n+1）]得到第二个数，从而得△=n+1、☆=n（n+1）。

【点评】类比是数学中常用的方法，这种方法往往有“化难为易”的神奇力量，大家今后一定要多留意这一方法。

三、类比思考发现通法

例4 观察下列等式：

[11×2]=1-[12]，[12×3]=[12]-[13]，[13×4]=[13]-[14]。

将以上三个等式的两边分别相加，得

[11×2]+[12×3]+[13×4]=1-[12]+[12]-[13]+[13]-[14]=1-[14]=[34]。

（1）直接写出计算结果：

[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+ [1n（n+1）]=

。

（2）根据（1）的探究过程猜想并写出： [1n（n+3）]=                   。

（3）解方程：[1x（x+3）]+[1（x+3）（x+6）]+[1（x+6）（x+9）]=[32x+18]。

【解析】本题考查分式的运算规律，通过所给等式的计算方式，可以将（1）展开进行计算。

（1）[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+[1n（n+1）]

=1-[12]+[12]-[13]+[13]-[14]+…+[1n]-[1n+1]

=1-[1n+1]=[nn+1]。

（2）类比（1）的解题过程，我们可以将比式拆成两个分式差的形式：[1n]-[1n+3]=[n+3n（n+3）]-[nn（n+3）]=[3n（n+3）]=

3·[1n（n+3）]，所以[1n（n+3）]=[13][1n-1n+3]。

（3）根据（2）的结论将（3）中方程进行化简可得：

[13][1x-1x+3+1x+3-1x+6+][1x+6]

[-1x+9]=[32x+18]，即[13][1x-1x+9]=

[32x+18]，

解得x=2，或x=-9。

经检验，x=2是原分式方程的解，

∴原分式方程的解x=2。

【点评】该题本身含有类比思想，意在通过类比，发现解决这一类问题的基本方法。即把每一项拆成两项的差，前后项抵消，从而达到化简的目的。本题还可类比小学分数学过的“裂项相消”的方法，从而学习分式的“裂项相消”。

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）