视为整体　巧妙解题

薛丽萍

面对一些分式求值题，我们会发现用常规方法很难计算求值，但若从整体出发，触及实质，再寻求解题方法，则可化繁为简，轻松解决。

一、变形搭桥，整体换元

例1 已知[1x]+[1]=3，求[x+2xy+y2x-3xy+2y]的值。

【解析】因为已知条件中有两个未知数x和y，但只有一个关于x和y的方程，所以直接求出x、y的值有一定的困难。我们不妨先来观察已知条件与所求分式之间的联系。

方法1：如果将条件变形，在等式两边同时乘xy，得到x+y=3xy，建立x+y与xy之间的关系，将x+y看作一个整体，整体换元，即可轻松求值。

[x+2xy+y2x-3xy+2y]=[（x+y）+2xy2（x+y）-3xy]

=[3xy+2xy6xy-3xy]=[53]。

方法2：如果将所求的分式变形，根据分式的基本性质，分子、分母同时除以xy，即可将所求分式转化为与条件相关的式子，再将[1x]+[1y]看作一个整体，代入求值。

[x+2xy+y2x-3xy+2y]=[（x+2xy+y）÷xy（2x-3xy+2y）÷xy]

=[1y+2+1x2y-3+2x]=[53]。

【点评】在对一些分式进行求值时，我们可以通过变形条件或所求分式，建立两者之间的桥梁，整体代入求值。

二、借助公式，整体平方

例2 已知m-[1m]=3 ，求m+[1m]的值。

【分析】要求m+[1m]的值，可将m+[1m]作为一个整体，求出[m+1m2]即可解决问题。而[m+1m2]=[m-1m2] +4=9+4=13，则m+[1m]=±[13]。

【点评】灵活运用完全平方公式及其变形，整体平方求值，是解决此类分式求值问题的关键。

三、巧求倒数，整体颠倒

例3 已知[xx2-3x+1]=[15]，求

[x2x4+x2+1]的值。

【解析】观察已知条件和所求分式，我们不难发现分子都是单项式，分母是多项式。如若将分子、分母整体颠倒，便可得原分式的倒数，再变形整理条件即可求出分式的值。

由[xx2-3x+1]=[15]知x≠0，

∴[x2-3x+1x]=5，即x-3+[1x]=5，故可得x+[1x]=8。

我們想要求分式[x2x4+x2+1]的值，可先求出其倒数[x4+x2+1x2]的值，

即[x4+x2+1x2]=x2+1+[1x2]=[x+1x2]-1

=82-1=63。

从而[x2x4+x2+1]=[163]。

【点评】通过探寻分式分子、分母之间的内在特性，将分子、分母整体颠倒，也是我们解决复杂分式求值问题的常用方法。

同学们，我们要善于观察、挖掘问题中隐含的信息，运用整体思想简化分式求值问题，提高正确率，发展数学思维。

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）