与“分式方程”有关的中考题掠影

曹渊

分式方程是方程大家族里特殊而又略显重要的成员，也是中考考查的热门知识点之一。本文对“分式方程”典型中考题进行剖析，以期对同学们的学习有所帮助。

题型一、解分式方程

例1 （2020·江苏南京）方程[xx-1]=[x-1x+2]的解是               。

解：方程两边同乘（x-1）（x+2），得

x2+2x=x2-2x+1，

解得x=[14]。

经检验x=[14]是分式方程的解。

拓展练习1：当x为何值时，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3？

解：根据题意，得[3-x2-x]-[1x-2]=3，方程两边都乘x-2，得-（3-x）-1=3（x-2），解得x=1。检验：当x=1时，x-2≠0，∴x=1是所列分式方程的解。

答：当x=1时，分式[3-x2-x]的值比分式[1x-2]的值大3。

题型二、求字母系数

例2 （2019·江苏宿迁）关于x的分式方程[1x-2]+[a-22-x]=1的解为正数，则a的取值范围是                。

【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，再结合分式方程有意义的条件分析得出答案。

解：去分母，得1-a+2=x-2，

解得x=5-a，

5-a>0，解得：a<5，又当x=5-a=2，即a=3时，分式方程无意义，

故a<5且a≠3。

拓展练习2：若关于x的分式方程[mx-2]=[1-x2-x]-3有增根，则实数m的值是                    。

解：去分母，得m=x-1-3（x-2），由分式方程有增根，得x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，得m=1。

题型三、分式方程的应用

例3 （2020·江苏扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染。

进货单

[商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 7200 乙 3200 ]

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：

李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%。

王師傅：甲商品比乙商品的数量多40件。

请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单。

【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50%）x元/件，

依题意，得[7200（1+50%）x]-[3200x]=40，

解得x=40。

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意。

∴（1+50%）x=60，[3200x]=80，

[7200（1+50）x]=120。

答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件。

拓展练习3：新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服。甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天。求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？

解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服。

根据题意，得[600x]-[6001.5x]=4，解得x=50。经检验：x=50是所列方程的解，且符合题意，则1.5x=75。

答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服。

总之，同学们在学习分式方程及其应用时，既要注意与整式方程相关内容进行类比，又要注意两者的区别。

（作者单位：江苏省常州市同济中学）