a÷0=?

游咏松

问题：现在有一个刚刚清零的计算器，你最少要用几步可使计算器的“E（ER?ROR，此指标指超出计数范围）”亮起来？

如果你打算摁出一个很大的数，或是用乘法，那就不是最少步数了。答案是依次摁“÷”“=”。这样就构造出一个0÷0的式子。很明显，这是个错误式（ERROR原义为错误），因为0不能作为除数。我们很早就知道，n÷0（n为实数）这样的式子是无意义的。

那么，0为什么不能作为除数呢？n÷0（n为实数）这样的式子为何无意义呢？要想解决这个问题，我们首先要明白除法的意义与实质。

在四则运算中，乘法运算的一般形式为ab（a、b为实数），其含义为a个b的和。除法运算的一般形式为b（a、b为实数且b=?0），其含义就是a当中包含的b的个数。基于此原理，a不变时，b的值越小（b=?0），ab的值越大。现在，大家试想一下，假定b的值为10-1000，即b=101000，a的值为1，那么a的值就是101000。这是一个很大的数字，但作为除数（分母）的b（10-1000）是一个很小的数字，却依然大于0。假如a的值不变（a=1），b真的等于0，那ab的值是多大？即1里包含了多少个0呢？应该是大到无法表示吧？这也就足以解释数字“0”作为除数时，计算器显示“E”的现象——这个数很大，以至于无法表示。

这个道理也可以用函数来说明。我a们假定y=b，这就是一个反比例函数。我们来看它的图像，如图1。

观察一下这个反比例函数图像，我们不难发现，这个双曲线永远不会经过坐标轴。也就是说，当|b（|x）无限接近0时，|y|便会因太大或太小以至于无法表示而失去意义。

0本身的意义就是“虚无”。但作为一个存在的数字，0的存在即表示存在的无。《道德经》说：“故有无相生”“无名天地之始”，又说“道生一，一生二，二生三，三生万物”“万物负阴而抱阳，冲气以为和”。简单讲，世间万物，皆从无演化而来。而万物都必须有一个对立面来与之相对，否则这个事物就没有存在的意义。举例而言，如果地球上只有白天没有黑夜，就没有昼夜的差别，如此一来，人们就不必将一天划分为白天和黑夜，白天的概念也就没有存在的意义。正是这两个对立面相辅相成，互相排斥又互相包容，万物才有了存在的意义。而如果有一个绝对存在的数a，除以一个虚无的0，那a÷0的结果还有存在的意义吗？

总之，0是不能作为除数的，这点大家都知道。不过在学习中，面对问题，切莫知其然而不知其所以然。

教師点评

小游同学另辟蹊径，对0作为除数的问题提出了自己的看法和主张，特别是从幂的运算和函数的角度，阐述了自己的认识，具有难能可贵的创新精神，值得同学们学习！

（指导教师：江苏省特级教师、正高级教师 张卫明）