数的扩充

何德海

从算术运算来看，如果只有自然数，可以尽情使用加法和乘法运算。有了分数，除法也就顺理成章了。但想要减法通行无阻，就必须有负数，因为有时不够减。有了正负整数、正负分数和0，加、减、乘、除就可以畅通无阻了（只要0不作为除数）。这些数统称为有理数。

一切似乎都很完美了，公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯学派就是这么认为的。他们有一个基本观点：世界万物都可以用数来表示，即“万物皆数”。在他们眼中，一切量都可以用整数或整数的比来表示（即有理数）。科学的道路从来就不是平坦的，这样的教训古今都有。科学的发展来自知识的创新，而知识的创新在历史上往往伴随着血与泪。毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现了无理数，却遭到同伴无情对待。

一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略自然风光，以驱散一天的疲劳。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”

“我看不一定。”这时，船尾的一个学者突然提问了。他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？”

“那就是小数。”

“要是小数既除不尽，又不能有规律地循环呢？”

“不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”

这时，船尾的学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示的。就以毕达哥拉斯先生研究最多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准确地量出斜边来。”

这个冷静的学者就是希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，他还不想发表自己这个新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生的理论置之四海而皆准。”希帕索斯眨了眨眼睛，伸出两手，用两个虎口比成一个等腰直角三角形说：

“如果直边是3，斜边是几？”“4。”

“再准确些？”“4.2。”

“再准确些？”“4.24。”

“再准确些呢？”

大个子的脸胀得绯红，一时答不上来。

希帕索斯说：“你就是再往后数上10位、20位也不能算是最精确的，我演算了很多次。”

这话犹如晴天霹雳，全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论？！敢破坏我们学派的信条？！敢不相信数字就是世界？！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也會奖赏我的，你们可以随时去验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。”“打死他！打死他！”大胡子冲上去，当胸给了他一拳。

希帕索斯抗议着：“你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时大个子冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他。一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了，但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。慢慢地，他们对杀死希帕索斯的无理行为感到后悔，渐渐明白直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学来证明。

（摘编者单位：江苏省句容市教师发展中心）