高中数学教学应如何培养学生的逆向思维

□甘肃省徽县第一中学 田建辉

一、在对比概念中培养学生的逆向思维

概念教学在高中数学教学过程中属于重难点内容，也是学生学习数学的重要基础。学生只有在掌握了概念后才能对其加以灵活运用，这对于后续解决数学问题也具有极其重要的意义。但是在概念教学过程中，学生思维容易被限制，所以需要教师在关注学生数学知识学习情况的同时，也要教会学生如何利用反向思维解决问题，帮助其对数学概念有进一步的深化和理解。

（一）在相反概念之间做对比

在高中数学教学过程中存在一些相反的概念，如果教师可以引导学生对其进行对比探究，那么这对于提升学生的逆向推理能力是具有积极意义的。例如，教师在讲授“反函数”这一章节时，就可以借助之前“函数”的相关概念，让两者做对比，对两者的不同之处做重点讲解，引导学生加深对逆向思维的感知，从而有效改善课堂教学效率。

（二）在概念属性上做对比

数学概念中包含了元素之间的各个属性，因此，教师为了在数学概念教学中贯彻逆向思维教学就需要帮助学生做概念属性的对比。例如，教师在讲授“映射”这一章节内容时，可以找机会使学生做逆向思维训练。首先，规定A→B 为集合A 到集合B 的映射，问集合A与集合B 之间存在怎样对应关系？此时，教师可以建立假设，若集合A 中各元素都可以在集合B 中找到与之相对应的元素，有且只有彼此一组对应，但是事实证明集合B 中存在一些集合A 中未含有的元素，由此便可以知道映射有一对一与多对一两种对应方式。数学概念本身不难理解，关键是要掌握合适的方法，逆向思维的模式可以帮助学生进一步了解概念的本质。

二、在公式应用中加强学生的逆向思维

数学公式是解决大部分题目的重要媒介，学生需要通过公式的灵活运用解答数学问题。逆向思维的培养有利于学生对公式内容产生正确记忆，之后再结合正向理解就很容易明白公式中各个元素代表的含义与内容。通过公式应用培养学生逆向思维一般从以下两个角度开始：一是公式的逆推，二是公式的逆用。

（一）通过公式的逆推培养学生的逆向思维

公式逆推的过程就是在培养学生的逆向思维能力，有利于学生学习效率的提升。例如教师在讲授正余弦互变这些基础公式时，就可以在学生完成正弦变余弦的转化后再让学生自己思考是否余弦也可以通过某种方式再转换为正弦。这样一来，学生对公式的印象就会得到加深，对其今后灵活运用公式会产生积极意义，从而使难题简单化。学生学会逆推公式与灵活应用公式逆推是两个完全不同的阶段，为了完成阶段之间的跨越式转变，需要在之后的学习过程中多加练习与巩固，在平时做题时就注意增加公式逆推的练习次数。久而久之，学生就会掌握从另一个角度思考数学问题的能力，提升数学学习效率。

（二）通过公式的逆用培养学生的逆向思维

逆向思维从本质上来看就是一种思维的发散，通过公式的变形应用可以带给学生逆向思维很大程度的刺激，从而使学生数学能力得到提升。例如，教师在讲授这种习题时：已知求sin4α＋cos4α的值。此时，除了接由公式的变化来解题，原式由 于cosα 的值是已知的，那么cos2α 的值也可以得出，结果就可以计算出来了，这是公式的正用，另外，借助逆向思 维，原 式之后根据给出的cosα 的值算出结果。三角函数的内容在高中应用还是比较广泛的，往往会成为考试重点。因为多种公式的存在，使三角函数这部分内容对学生的灵活运用能力有了一定要求，但是只要学生掌握了公式的逆推能力，这一章节的内容难度就不算大了。

三、在题目的灵活解答中增强学生的逆向思维能力

目前高中数学的题目也在向复杂与困难方向靠拢，一部分题目按照正常解题思路很难找到好的解决方法，这时就需要借助逆向思维方式帮助学生打开局面，破解难题。在数学解题领域，“反证法”的应用还是比较多的。“反证法”是指证明与题目中的命题相对应的逆否命题成立与否，一般多用于以常规方式无法得出答案的情况。因为原命题与其逆反命题成立与否是保持一致的，所以当原命题无从下手时可以从反方向思考，在确保公式定理应用无误的情况下看其逆否命题是否成立。反证法的应用主要分为三步，“反设、归谬以及做出结论”。以一例题举证，证明“整数的平方若是偶数则其本身也是整数”。此时可先反设若该整数为奇数，设这一整数为2x＋1，x∈N，则可知其结果是奇数，所以这种反设不成立，这样一来，题目中的命题就是成立的。反证法对于快速解决问题也具有一定的优势，所以在遇到难题时教师可以引导学生多用反证法完成题目解答，这也是锻炼其逆向思维的重要方式。