HPM融入导数教学的研究

江佳慧

[摘 要]HPM指数学史与数学教育研究。HPM已成为数学教育的重要研究方法之一。将数学史融于数学教学，可以从不同方面对高中数学的教学起到借鉴作用。文章主要通过文献研究法和案例分析法，探究数学史教学与微积分的发展史，分析高中导数教学存在的困难，将HPM融入导数教学。

[关键词]HPM;导数;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）17-0001-04

一、研究的目的和意义

第一，学习导数能够丰富学生解决问题的方法，锻炼学生思考问题的能力。

在解答导数相关问题时，学生需要灵活运用各种解题方法，全面掌握导数的所有知识点。在学习导数时，学生要转变原有的数学观，从不变到变化、从有限到无限、从静态到动态、从常量到变量。

第二，微积分中包含极限思想、函数思想和数形结合思想等。在高中阶段教授微积分可以锻炼学生的探索意识和思维能力，提高学生解决问题的能力。

研究我国教育史可以发现，数学教学内容有限，发展十分缓慢。起初只教授算术，之后才在中学教材中逐步添加几何、代数、数列和不等式等内容，微积分这一部分知识在很长一段时间里都没有被添加到高中教材中，高考也未涉及，只有一些学有余力的、有兴趣、有天赋的学生把微积分作为数学学科竞赛的参考资料去学习。这主要是因为部分研究学者认为，微积分中的思想方法对于高中生来说是难以接受的，提早让他们接触这一部分内容会让他们心有余而力不足，逐渐失去探究解决数学问题的兴趣。但是，随着我国义务教育的全面普及，学生学习能力的提高，学习资源与学习环境的逐步优化，导数作为微积分的一部分基础知识被纳入教学大纲，成为高中数学选修教材内容中的一部分，目的是做好高中数学导数与高等数学微积分的衔接，锻炼学生探索的意识，提高学生探究问题和解决问题的积极性，优化学生解决问题的方法。

第三，从数学文化价值看，可让学生通过自主探索数学的历史发展过程，体会数学的文化内涵，激发学生的民族自豪感。

培养什么人，是教育的首要问题[1]。把立德树人作为学校的立身之本，是时代的要求。

微积分的基础内容导数被写进了高中数学教材，高中生首次接触到新的领域，面对新的数学思想和数学方法，肯定会对它的来历和作用产生疑惑，它是怎么来的？有什么用处？在我国古代，刘徽提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”[2]其中涉及的分割思想、极限思想等都是微积分的雏形。虽然微积分的雏形在我国古代早已出現，但由于我国自古以来都是农业生产国，数学发展进程相比西方较慢。

了解数学史，一方面可以提升学生的民族自豪感、自信心，另一方面可以鼓励学生学好数学，增强学生的爱国主义精神。数学教师不能单纯地教授课本知识，要在课本知识的基础上，延伸数学思想，拓展传播数学文化。

笔者基于HPM设计高中微积分教学，将数学史和数学问题贯穿整个教学活动，引导学生自主探索、主动学习。

二、导数的概念教学设计

环节一：数学史情境引入

导入：17世纪，牛顿热衷于研究物体的运动规律，他遇到这样一个运动：一辆马车向前跑，路程[s]和时间[t]满足[s=t2]。

分析：马车1 s走完1 m，2 s走完4 m，3 s走完9 m，速度越来越快，显然是做变速运动，在牛顿之前研究物体的运动规律的数学家能够算出一段时间内的平均速度，例如从第5秒到第6秒，小车从25 m处走到36 m处，这段路程的平均速度[v=st=11 m/s]，但牛顿并不满足于算平均速度，他更想知道既然是变速运动，那么速度是如何变化的，也就是每一个时刻的瞬时速度。

问题1：小车在第5秒的瞬时速度是多少？

分析：第5秒经过的时间为0，经过的路程还是0。牛顿将问题看成动态的，从平均速度的原理出发，逐步缩短时间间隔，计算第5秒到第5.5秒的平均速度：[v2=5.52-525.5-5=（5.5+5）（5.5-5）5.5-5=5.5+5=10.5（m/s）]。

问题2：10.5仍是平均速度，这么做有什么意义？

分析：虽然10.5也不是瞬时速度，但是因为时间间隔缩短了，10.5比11更接近第5秒时的瞬时速度，所以只要不断缩短时间间隔，求出平均速度，就会无限接近第5秒时的瞬时速度，这就是微积分思想的雏形——无限接近思想。利用这个想法，牛顿最终求出瞬时速度。

[   参   考   文   献   ]

[1]  本报评论员.培养什么人，是教育的首要问题[N].光明日报，2018-09-13（3）.

[2]  张劲松.“割圆术”的内涵及其在数学教学中的价值[J].数学通报，2010（10）：19-22.

（责任编辑 黄桂坚）