探析安培力做功与反电动势的物理本源

陶汉斌

[摘 要]在剖析电与磁的综合问题时会涉及安培力做功与反电动势问题，在高三物理复习中，教师应注意引导学生追溯安培力做功与反电动势的本源，帮助学生理解它们的物理本质。做功过程实现了能量的转化，功是能量转化的量度。因为力的作用是相互的，所以安培力肯定是成对出现的。能量转化问题常出现在各类物理考试中，值得广大高三师生重视。在具体解题过程中，要求出安培力对系统所做的总功，即[WA1+WA2=WA]。安培力做正功，即[WA>0]，电能转化为其他形式的能;安培力做负功，即[WA<0]，也就是克服安培力做功时，由其他形式的能转化为电能。而反电动势的本质是把电能转化为机械能，电源提供的电能转化为机械能的那部分能量就是反电动势对应的能量。

[关键词]安培力做功;反电动势;能量转化

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）17-0034-03

高中物理必修一主要学习力的基础，必修二主要学习动能定理与能量的转化，通过学习这两册书学生能为后续的物理学习打下坚实的基础。高中物理最核心的知識就是力与能量，教师应引导学生追寻本源问题的物理之美，运用力与能量的观念剖析物理问题，探索物理本质。本文通过两个例题剖析有关安培力做功实现能量转化的问题，其中例1着重理论分析，例2侧重实际应用。

一、电磁驱动类问题——直击安培力做功

[例1]一质量为[m=0.5 kg]、直角边边长[a=2m]、总电阻[R=0.5 Ω]的等腰直角三角形刚性线框静止放置在绝缘光滑水平面上。方向垂直水平面向下、大小[B=0.5 T]、宽度[d=0.5 m]的有理想边界[PQ]和[MN]的匀强磁场，在外力作用下，以[v0=2 m/s]匀速向右运动。[t=0]时，三角形线框相对磁场的位置如图1所示。不计导线框中产生的感应电流对原磁场的影响。

（1）若线框固定不动，求[CD]边恰好进入磁场前，外力所做的功[WF];

（2）若线框可以在光滑水平面上运动，求[CD]边恰好进入磁场之前，外力所做的功[W′F]。

情境分析：若线框固定不动，线框相对磁场向左匀速切割，并且切割的有效长度不变，磁场在恒定安培力作用下做匀速直线运动。若线框可以在光滑水平面上运动，那么线框在磁场的驱动下，也跟着磁场向右运动，在相对运动的过程中产生感应电流。在这个过程中，安培力对线框做正功，而对磁场做负功，这些功到底能实现怎样的能量转化呢？解题过程如下。

解析：（1）线框的[CD]边进入磁场前，因为磁场匀速运动，所以线框的有效切割长度不变，电流不变，系统所受的外力与安培力平衡。

线框的有效切割长度为：[L=2d tan45°=1 m]

线框所受的安培力为：[F安=BIL=B2L2v0R=1 N]

外力所做的功为：[WF=F22a-0.5=0.5 J]

（2）在磁场的驱动下，线框也向右运动，安培力对线框做正功，而反作用于磁场的安培力对磁场做负功，安培力做的总功是多少？还有外力做功到底实现了什么能量转化呢？下面就从不同的侧面来探讨这些问题。

【系统能量守恒的观点——观察现象，整体把握能量的转化与守恒定律】

从宏观上把握磁场匀速向右运动的过程所消耗的能量，运用能量观点从整体上把握问题。在线框运动的过程中，必须消耗两部分能量。第一部分是线框增加的动能，第二部分是线框中电流产生的焦耳热。

对线框用动量定理，有：[BIL·Δt=mv]

[BLBLRΔv·Δt=mv?B2L2RΔx=mv]

代入数据解得[v=Δx]

当相对位移[Δx=0.5 m]时，[v=0.5 m/s]

线框增加的动能[EK=12mv2=0.0625 J]

在这个过程中所受的安培力为：

[FA=B2L2（v0-v）R=0.5（2-Δx）]

安培力与相对位移[Δx]之间有线性变化关系，可用平均值求解安培力的功，这一对安培力对系统做的总功为：

[WA=-FA·Δx=-（1+0.75）2×0.5 J=-0.4375 J]

电流产生的焦耳热为：[Q=WA=0.4375 J]

外力所做的功为：[W′F=EK+Q=0.5 J]

【力的观点——以匀速运动的磁场为研究对象】

从力的角度剖析，以磁场为研究对象，磁场进入线框后额外增加了一个与速度[v0]方向相反的安培力[FA]，而磁场还是要保持匀速运动，外力必须克服安培力[FA]做功，这样就把能量成功输送进来了。

以磁场为研究对象，磁场匀速运动时，外力克服安培力所做的功为：

[W′F=FAv0Δt=BILv0Δt=B2L2v0RΔv·Δt=B2L2v0R·Δx=0.5 J]

反思与提升：动生电动势的切割速度是相对磁场的速度，而不是相对地面的速度。动生电动势中的能量问题——安培力做功实现了其他形式的能与电能的相互转化。在本例中，安培力对线框做正功，而对磁场做负功，我们应该求这一对安培力做功的总和。一对安培力做功的总和是负的，其绝对值就是在这一过程中转化成的电能，即[Q=WA1+WA2]。安培力所做总功的数值与电能的变化量在数值上是相等的[1]。

二、潜艇类问题——聚焦反电动势

[例2]为了提高潜艇的隐蔽性，就需要降低潜艇的噪音，而采用电磁推进器代替螺旋桨推进器是降低潜艇噪音的一个发展方向。图2甲是某种电磁推进式潜艇的示意图，其下方有两组推进器，每组由6个完全相同的、相互独立的直线通道推进器构成，每个直线通道推进器的内部结构如图2乙所示，在直线通道内充满了电阻率为[ρ=0.2 Ω·m]的海水，通道中[ab]cd[-efgh]的长方体空间内存在由电阻不计的励磁线圈产生的匀强磁场，磁感应强度大小为[B=6 T]，方向垂直于[adhe]平面向外，[ab]cd和[efgh]是两块与周围其他材料绝缘的金属板，当两金属板与专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了沿[e]到[a]方向的恒定电流，设电流只存在于磁场区域。设海水原来是静止的，当两组推进器都开启，潜艇以[v0=15 m/s]的恒定速度前进时，海水在出口处的速度为[v=15 m/s]。不计专用直流电源的内阻及导线电阻，已知海水密度[ρm=1.0×103 kg/m3]，[Lad=Lae=0.3 m]，[Lab=0.4 m]，[15≈3.87]。求：

（1）直线通道推进器两金属板间的电流大小;

（2）专用直流电源对12个推进器提供的总功率。（结果保留两位有效数字）

情境分析：此题以潜艇为背景，考查了物理本源问题，這个物理本源就是力的观点、能量与做功的观点。此题第（2）小题，不仅要求学生关注生活中的现象，还要求学生对观察到的现象进行思考，对物理本质问题进行反思与探究，如潜艇匀速前进时有哪些能量参与转化？船尾滚滚喷出水的能量是谁提供的？海水切割磁感线产生的反电动势到哪里去了？下面就从物理本源角度对第（2）小题进行探讨。

【用能量守恒的观点解决问题】

观察现象，整体把握能量的转化与守恒定律在生活中的应用。对本题，可利用能量的转化与守恒定律从宏观上把握潜艇行驶过程中所消耗的能量。潜艇在匀速行驶的过程中，单位时间内必须消耗三部分能量。第一部分是焦耳热功率，海水有一定的电阻，电流通过海水导体时会产生焦耳热，这一点学生容易理解;第二部分是潜艇的牵引功率，潜艇匀速行驶时受到牵引力作用，这个牵引力其实是海水所受安培力的反作用力，潜艇的牵引力做的功就是牵引力克服海水阻力做功消耗的能量;第三部分是单位时间内海水动能的增加值，这部分能量是学生最容易忘记的，也是本小题的探究重点。潜艇在匀速行驶时，后面肯定会喷出一定量翻滚的海水，这部分海水具有一定的动能。当然，这三部分能量最终会全部转化为海水的内能。具体解析如下：

直流电源提供的电功率的第一部分。通过第（1）小题可求出电流[I=103A]，通过海水时产生的焦耳热功率为：

[P1=12I2R]

[R=ρLaeLabLad=0.5 Ω]

代入数据可解得[P1=12I2R=6×106 W]

直流电源提供的电功率的第二部分——牵引功率。

[P2=Fv0=12BILaev0=3.24×105 W]

直流电源提供的电功率的第三部分——单位时间内海水动能的增加值。

设单位时间内喷出海水的质量为：

[m=ρmLabLaev]

[P3=12ΔEK=6mv2=4.2×104 W]

潜艇的总功率为：[P总=P1+P2+P3=6.366×106 W]

【用反电动势的观点分析解决问题】

海水切割磁场产生感应电动势，直流电源提供的恒定电流使海水受到安培力作用，海水在安培力作用下做匀加速运动切割磁感线产生反电动势。设本题中直流电源的电动势为[E0]，它是可变的电动势，海水产生的反电动势为[E]，如图3所示。根据闭合电路欧姆定律有：

[E0-E=IR]         [E0I=I2R+EI]

从上式可知，直流电源所提供的电功率[E0I]中的一部分转化为焦耳热功率，另一部分转化为反电动势的功率。通过海水的焦耳热功率为：

[P1=12I2R=6×106 W]

反电动势的功率为：[P′=EI]

海水在安培力的作用下切割磁感线，做匀加速运动，相对地面而言，海水的初速度为零，海水喷出时的末速度为[v=15m/s]。潜艇在匀速行驶，磁场也在以相同的速度[v0]匀速前进，海水切割磁感线的速度应该是相对于潜艇的速度，因此，海水相对于潜艇的初速度为[v0]，海水相对于潜艇的末速度为[v0+v]，在这个过程中海水切割磁感线的平均速度为[v=v0+v0+v2]，产生的反电动势可用平均速度求得：

[E=12BLaev=12BLae（v0+v0+v）2]

因此，反电动势对应的功率为：[P′=EI=12BLae（2v0+v）2I=3.66×105 W]

在此，再探究一下反电动势的本源。反电动势到底实现了什么能量转化呢？其实，反电动势实现的能量转化是把直流电源提供的一部分能量成功地转化为机械能（牵引潜艇的能量与海水增加的动能），这就是反电动势的本源[2]，也可从以下数据得到证实。

[P′=EI=12BLae2v0+v2I=Fv0+12mv′2=P2+P3=3.24×105 W+0.42×105 W=3.66×105 W]

潜艇的总功率为：[P总=P1+P′=6.366×106 W]

【用安培力做功的观点分析解决问题】

安培力做功实现电能与机械能的相互转化。在此题的情境中，海水受到安培力作用，安培力对海水做正功，海水在安培力的作用下做匀加速运动，安培力对海水所做的功为：

[WFA=Fx1=12BILaev2t=12mv2]

安培力对潜艇所做的功为：

[W′FA=Fx2=12BILaev0t]

这一对安培力做功之和为：

[WA=WFA+W′FA=12BILaev0+v2t]

在单位时间内这一对安培力所做的功为：

[PFA=12BILaev0+v2=0.366×106 W]

安培力做正功，说明把直流电源提供的一部分电能转化为机械能（牵引潜艇的能量与海水增加的动能）。

同理，我们可求出直流电源通过海水导体时的焦耳热功率为：[PR=12I2R=6×106 W]

潜艇的总功率为：[P总=PFA+PR=12BILaev0+v2+12I2R=6.366×106 W]

反思与提升：在解决上述问题的过程中，回归物理本源就是回归力的观点、能量与做功的观点。从上面的解题过程中可以看出，直流电源提供的电能转化为机械能的那部分能量就是反电动势对应的能量，也就是安培力对系统所做的总功，这种一一对应的等量关系，绝不是一种巧合，真正体现了物理的本源。

[   参   考   文   献   ]

[1]  陆球.电磁感应中关于安培力做功与电阻发热量关系的讨论[J].物理教师，2018（11）：55-56.

[2]  闻壹兵.刍议转动的电动机转子线圈中的反电动势[J].物理教学探讨，2020（4）：51-53，55.

（责任编辑 易志毅）