用两点间的距离公式解题的研究

王艳

[摘 要]两点间的距离公式是重要的数学解题工具，特别是当两点所在直线平行[y]轴时，该公式会变得更简洁，运用该公式能解决很多数学题目。

[关键词]两点间的距离公式;解题;研究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0010-03

在考题中，经常遇到平行[y]轴的直线上的两点之间的距离计算问题，利用两点间的距离公式可计算线段的最值、图形面积的最值、点的坐标等。下面就结合一道考题谈谈两点间的距离公式的具体运用。

一、题目呈现

2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的極大热情。如图1是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为[x]轴，过跳台终点[A]作水平线的垂线为[y]轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线[C1]：[y=-112x2+76x+1]近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点[O]正上方4米处的[A]点滑出，滑出后沿一段抛物线[C2]：[y=-18x2+bx+c]运动。

（1）当运动员运动到离[A]处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线[C2]的函数解析式（不要求写出自变量[x]的取值范围）;

（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求[b]的取值范围。

二、题目分析

考题以2022年北京冬奥会为问题背景，以二次函数为知识基础，以解析式的确定、竖直距离、不等式为问题解决的主渠道，以待定系数法、两点间的距离公式、不等式思想、数形结合思想为主要解题思路，体现“数学源于生活，同时服务生活”，实现学数学、用数学的双向融合。

三、解法探究

（1）∵抛物线[C2]：[y=-18x2+bx+c]过点（0，4）和（4，8），∴[c=4，-18×42+4b+c=8，]解得：[c=4，b=32，]

∴抛物线[C2]的函数解析式为[y=-18x2+32x+4]。

（2）设当运动水平距离是m米时，运动员与小山坡的竖直距离是1米，设竖直直线与[C1]：[y=-112x2+76x+1]交于点[B]，与[C2]：[y=-18x2+32x+4]交于点[A]，根据题意，得[Am，-18m2+32m+4]，[Bm，-112m2+76m+1]，∵[AB∥y]轴，∴[AB=yA-yB=-18m2+32m+4--112m2+76m+1=1]，整理得[m2-8m-48=0]，∴[（m-12）（m+4）=0]，解得[m1=12]，[m2=-4]（舍去）。

∴当运动水平距离是12米时，运动员与小山坡的竖直距离是1米。

（3）∵[C1]：[y=-112x2+76x+1=-112（x-7）2+6112]，∴运动员水平运动7米时到达坡顶，此时[y1=6112]。根据题意得[y2=-18×72+7b+4]，∵运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米，∴[y2-y1>3]，∴[-18×72+7b+4-6112>3]，解得[b>3524]。

四、思考

透过考题，我们得到如下启示：

第一，数学学习夯实基础是关键，如这里的待定系数法，是一种基本方法，解方程组是方法的核心。若是基础不牢，连方程组都不能正确解答，后面的问题就难以解决。

第二，抓住问题的关键。解答时，充分利用函数的解析式，用好“横坐标相同”这一特殊条件，表示点的纵坐标，利用竖直距离等于两点纵坐标差的绝对值建立不等式，也体现了转化思想。

第三，用活各种数学思想是解题的灵魂和指南。

五、变式应用

（一）反比例函数中，求三角形面积的最小值

[例1]如图2，直线[y=-x+m]与双曲线[y=-2x]相交于[A]，[B]两点，[BC∥x]轴，[AC∥y]轴，则[△ABC]面积的最小值为            。

解：设[A（x1， y1）]，[B（x2， y2）]，则点[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2]，∵直线[y=-x+m]与双曲线[y=-2x]相交于[A]，[B]两点，[BC∥x]轴，[AC∥y]轴，∴点[C（x1， y2）]，[BC=x2-x1]，[AC=y1-y2=x2-x1]，∴[S△ABC=12AC·BC=12（x2-x1）2=12（x2+x1）2-4x2x1]。根据题意，[x1]，[x2]是方程[-2x=-x+m] 的两个根，∴[x1]，[x2]是方程[x2-mx-2=0]的两根，∴[x1+x2=m]，[x1x2=-2]，∴[S△ABC=12m2+4]，∴当[m=0]时，[S△ABC]有最小值，且为4，故答案为4。

（二）当线段最长时，求线段和的最小值

[例2]如图3，抛物线[y=-12x2+bx+c]与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，直线[y=-12x+2]过[B]、[C]两点，连接[AC]。

（1）求抛物线的解析式;

（2）求证：[△AOC∽△ACB];

（3）点[M（3， 2）]是抛物线上的一点，点[D]为抛物线上位于直线[BC]上方的一点，过点[D]作[DE⊥x]轴交直线[BC]于点[E]，点[P]为抛物线对称轴上一动点，当线段[DE]的长度最大时，求[PD+PM]的最小值。

解：（1）∵直线[y=-12x+2]过[B]、[C]两点，∴[B（4， 0）]，[C（0， 2）]，根据题意得[-8+4b+c=0，c=2，]解得[b=32，c=2，]∴抛物线的解析式为[y=-12x2+32x+2];

（2）∵二次函数[y=-12x2+32x+2]与[x]轴交于点[A]，∴[-12x2+32x+2=0]，解得[x1=4]，[x2=-1]，∴点[A（-1， 0）]，∴[AO=1]，[AB=4-（-1）=5]，

在[Rt△AOC]中，[AO=1]，[OC=2]，∴[AC=5]，∴[AOAC=ACAB=55]，又∵[∠OAC=∠CAB]，∴[△AOC∽] [△ACB];

（3）设点[D]的坐标为[m，-12m2+32m+2]，此时点[E]的坐标为[m，-12m+2]，

∴[DE=-12m2+32m+2--12m+2=-12m2+2m]，∵[-12<0]，∴当[m=2]时，线段[DE]取最大值，∴点[D（2， 3）]，∵[C（0， 2）]，[M（3， 2）]，∴点[C]和点[M]关于对称轴对称，连接[CD]交对称轴于点[P]，此时点[P]即为[PD+PM]最小的位置，连接[CM]，设与直线[DE]的交为点[F]，∴[∠DFC=90°]，∴点[F（2， 2）]，∴[DF=3-2=1]，[CF=2-0=2]，∴[CD=CF2+DF2=5]，∴[PD+PM]的最小值为[5]。

（三）当三角形的面积最大时，求倍数线段和的最小值

[例3]已知抛物线[C1]：[y=ax2]的图像如图4。[A0， 14]，直线[l]：[y=-14]，点[B]为抛物线上的任意一点且满足点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等。

（1）直接写出：[a]的值             ;

（2）如图5，若直线[l2]：[y=mx+14m>0]交抛物线于[D]、[E]两点（点[D]在点[E]的右边），交[x]轴于点[F]，过点[E]作[EM⊥l]于点[M]，过点[D]作[DN⊥l]于[N]，点[H]为[MN]的中点，若点[H]到直线[l2]的距离为[7]，求[m]的值;

（3）如圖6，将抛物线[C1]向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线[C2]，[C2]交[x]轴于[A]、[B]两点，交[y]轴于点[C]，点[P]为直线[BC]下方抛物线上一点，点[Q]为[y]轴上一点，当[△PBC]的面积最大时，求[2PQ+CQ]的最小值。

分析：（1）根据点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等，判定点[B]的坐标为[12，14]或[-12，14]，代入解析式求解;（2）构造全等三角形，利用勾股定理和根与系数关系定理计算;（3）在[y]轴左侧作[∠OCR=30°]交[x]轴于点[R]，过点[Q]作[QT⊥CR]于点T，则[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，当[P]、[Q]、[T]三点共线时[PQ+12CQ]取得最小值，求出最小值。

解：（1）如图4所示，∵点[A]到直线[l]的距离为[14--14=12]，点[B]到点[A]的距离与点[B]到直线[l]的距离始终相等，∴点[B]的坐标为[12，14]或[-12，14]，∴[14=a×122]，解得[a=1]，故答案为1;

（2）如图7，连接[EH]并延长交[DN]延长线于点[G]，连接[AH]，[DH]，∵[∠EMH=∠GNH=90°]，[∠EHM=∠GHN]，[MH=NH]，∴[△EMH≌△GNH]， ∴[EH=GH]，[EM=GN]，∵[EA=EM]，[DA=DN]，∴[ED=EA+DA=EM+DN=DG]，∴[∠EDH=∠GDH]，[DH⊥EG]，∴[△ADH≌△NDH（SAS）]，∴[∠HAD=∠HND=90°]，∴[AH=7]，

根据题意得[y=x2，y=mx+14，]∴[x2-mx-14=0]，∴[xE+xD=m]，[xE?xD=-14];

∵[H]为[MN]的中点，∴[Hm2，-14]，∴[m22+122=72]，∵[m>0]，∴[m=33];

（3）∵抛物线[C1]向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线[C2]，∴[C2]的解析式为[y=（x-2）2-1]，即[y=x2-4x+3]，令[y=0]，得[（x-2）2-1=0]，解得[x1=1]，[x2=3]，∴[A（1， 0）]，[B（3， 0）]，令[x=0]，得[y=3]，∴[C（0， 3）]，

设直线[BC]的解析式为[y=kx+3]，∴[3k+3=0]，即[k=-1]，∴直线[BC]的解析式为[y= -x+3]，

如图8，连接[PB]，[PC]，作直线[BC]，过点[P]作[PW⊥x]轴，交直线[BC]于点[W]，设点[P]的横坐标为[x]，则[P（x， x2-4x+3）]，[W（x，-x+3）]，∴[WP=-x+3-（x2-4x+3）=-x2+3x]，[∴S△PBC=12WP·xB-xC=12（-x2+3x）×3=-32x2+92x=-32x-322+278]，

∴当[x=32]时，[S△PBC]最大，此时点[P32，-34]，

在[y]轴左侧作[∠COR=30°]交[x]轴于点[R]，过点[Q]作[QT⊥CR]于点[T]，[QT=12CQ]，则[PQ+12CQ=PQ+QT≥PT]，当[P]、[Q]、[T]三点共线时[PQ+12CQ]取得最小值，

设直线[CR]与直线[PW]交于点[S]，∵[OC=3]，∴[OR=COtan30°=3×33=3]，∴[R-3， 0]，设直线[CR]的解析式为[y=mx+3]，∴[-3m+3=0]，即[m=3]，∴直线[CR]的解析式为[y=3x+3]，∴[S32，332+3]，∴[PS=323+3--34=15+634]，

∵[CO∥PS]，∴[∠S=∠RCO=30°]，在[Rt△PTS]中，[PT=12PS=334+158]，

∴[PQ+12CQ]的最小值为[334+158]，∴[（2PQ+CQ）min=2PT=332+154]。

点评：本题考查了抛物线的解析式、抛物线的最值、抛物线与一元二次方程的关系、三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质和判定、全等三角形和垂线段最短。熟练掌握抛物线解析式的确定，三角函数性质，线段和的最值求法是解题的关键。

（责任编辑 黄桂坚）