关注圆的特性 巧构模型解题

朱文良

[摘要]添加辅助线来构建模型是几何问题突破的常规策略，关于圆的问题可以由圆的垂径定理、直径所对的圆周角特性、切线性质以及综合利用几何定理来建立相应的模型解决。

[关键词]圆;辅助线;模型

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0017-02

圓是初中数学重要的几何图形，由于圆的结构较为特殊，其性质和定理与常规的图形存在一定的差异，关于圆的问题，在求解时需要结合图形结构、特殊点和特殊关系，充分利用圆的性质和定理来合理添加辅助线，通过构建相应的模型来解决。

思路一：关注圆中弦。构建垂径关系

弦是圆中所特有的概念，当出现与弦相关的圆问题时，可以根据垂直于弦的直径平分弦和弦所对的两条弧长的特性，通过添加辅助线来构建对应的垂径关系，该构建思路是基于圆的“垂径定理”，解题时需要关注圆的半径、弦和弦心距。

评析：上述给出了圆内的一条弦以及与弦相关的垂线，求证等线段长可以基于垂径定理来添加辅助线，利用该定理将几何位置关系转变为相应的长度关系，在解题时要充分理解垂径定理中的“径”，作图时只需要作过圆心与弦相垂直的线段即可，因圆内必然存在与其相重合的直径。

思路二：关注圆内直径。构建直角三角

直径是衡量圆大小的量，当圆内出现直径时，可以基于直径上的圆周角性质来构建直角三角形，即添加辅助线，分别连接圆上一点与直径的两个端点，则直径所对的圆周角就为直角，考虑到这样的圆周角有很多，在实际解题时需要结合圆上的特殊点来构建。

评析：利用直径所对的圆周角为直角来添加辅助线构建直角三角形是求解圆相关问题的常见方法，上述考题虽然没有给出直径，但通过延长半径也可以获得直径，此时就可以将所求线段关联到直角三角形中，因此利用直径所对的圆周角性质建模适用于两种情形：一是直径明确，直接构建;二是直径隐含情形，由半径衍生出直径。

思路三：关注圆的切线。借用切线性质

圆的半径与圆的切线相垂直，这是圆的切线性质，在求解与圆切线相关的问题时，则可以考虑利用圆的切线来添加辅助线，构建相应的几何模型，该种建模的思路适用于求解线段长和两线垂直，同时也可以逆向思维来求证直线为圆的切线。

评析：利用切线的性质建模的思路较为明确，①如果存在切点，只需要连接半径，然后求证垂直即可;②如果没有切点，则需要作出相应的垂直关系，证明所作线段为半径，因此该建模思路中常涉及两类模型：一是特殊的直角模型，二是等长线段模型。

思路四：关注圆内定量，综合构建模型

圆内的量较多，除了上述所给出的半径、直径、弦长和切线外，还包括弧长、圆心角、弦心距和弓形高等量，对于给出上述量的圆的问题，则可以考虑综合应用几何定理来构建特殊模型，如相似模型、直角三角形模型，基本的思路为：由已知出发探索垂直或相似条件，建立对应模型，然后利用特殊模型的性质突破。

评析：上述同样是与圆相关的问题，两问模型构建的思路是不同的，第（1）问是结合圆的切线，从三角形相似入手来转化比例关系，同时利用了直角三角形的中位线性质;第（2）问则是结合圆外一点的两条公切线，从图形对称入手，利用弧长公式来转化问题，因此对于一些结构较为复杂的圆类图形，在突破时要充分利用圆内的量和性质，综合几何定理来建模，这也是复杂圆类问题突破的方法。

总之，圆问题的建模思路是多样的，具体表现为从圆的几何性质和定理入手，结合相应的问题构建对应的特殊模型，然后利用模型来分析其中的位置和数量关系，最终实现问题的求解，基于几何特性构建解题模型的过程中同时也涉及众多的数学思想，如模型思想、数形结合思想、化归转化思想和方程思想等，在解题教学中，教师应适当讲解构建解题思路的方法，使学生逐步内化，形成自我的解题策略。