从数学试题来认识“数学运算”能力

唐光明

[摘要]从不同时期的数学教学大纲、数学课程标准中“教学目的”或“课程目标”对数学运算能力的描述变化，可以充分认识数学核心素养“数学运算”的能力要求。

[关键词]数学课程标准;核心素养;数学运算能力

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0006-03

20世纪的数学教学大纲对“数学运算”能力的“正确迅速”降低了一些能力要求，与2003年版数学课程标准相比，2017年版数学课程标准首次提出了数学区别于其他学科的核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面，由原来的"X2基”转变为“四基”与“四能”，提出通过高中数学课程学习，使学生进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动能力和经验得以提高，培养学生从数学角度发现和提出问题的能力，提升学生分析和解决问题的能力，同时“提高数学能力”转变为“发展数学素养”，在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》首次把“数学运算”能力分解为两大方面，即“数学运算”和“数据分析”，增加“数据分析”主要基于1986年版到2002年版的数学教学大纲对“数学”的描述：“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，”2003年版数学课程标准对“数学”的描述是：“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，”而《普通高中数学课程标准（实验）》（中华人民共和国教育部制订，2003年4月第1版）中对“数学”的描述改成了：“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，”交换了“数量关系”和“空间形式”的顺序，首次把“数量关系”摆在了“空间形式”的前面，这是社会的发展，时代的需要，数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网+”相关领域的主要数学方法，数据分析技术已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。

从考试大纲及其说明中，可以了解考试大纲对运算能力的要求，《教学大纲》规定如何进行教学，而《考试说明》则规定考试的性质、内容、形式等，因此，《考试说明》与《教学大纲》是对立统一、相辅相成的。

1.《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》（中华人民共和国教育部制定，1978年2月第1版）的“教学目的”中对数学运算能力的要求是“具有正确迅速的运算能力”。

[例1]1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第二大题第1小题：

本小题结合了二项式的展开考查复数的运算能力，考查考生“正确迅速的运算能力”。

2.《全日制中学数学教学大纲》（中华人民共和国国家教育委员会制定，1986年12月第1版）的“教学目的”中对数学运算能力的要求是“培养学生的运算能力”。

依据国家教委1986年颁发的《全日制中学数学教学大纲》，于1990年11月由国家教育委员会考试中心组织编写的1991年版《考试说明》指出：“数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法和运算能力、逻辑想象能力以及运用所学数学知识和方法，分析和解决问题的能力。”

相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义”。

[例2]1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）第三大题解答题第（22）小题（本小题满分8分）：

本小题考查复数基本概念和运算能力，

3.国家教委颁发的《现行普通高中教学计划的调整意见》（教基[1990]004号文件），将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，于是有了《全日制中学数学教学大纲（修订本）》（中华人民共和国国家教育委员会制定，1990年4月第2版），大纲中的“教学目的”中指出“培养学生的运算能力”，依据这一大纲的《普通高等学校招生统一考试数学科考试大纲》指出数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，考查考生的“运算能力”，特别地在“能力要求”中对“运算能力”做了如下说明：“会根据概念、公式、法则进行数、式、方程的正确运算和变形;能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算。”

相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则，能正确地进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法的运算，能正确地进行复数三角形式的乘法、除法、乘方、開方的运算，并理解复数运算的几何意义”，这里明确提出了对复数的三角形式运算的要求。

[例3]1994年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第三大题解答题第21题：

本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力。

4.《普通高中数学课程标准（实验）》（中华人民共和国教育部制定，2003年4月第1版）的第二部分“课程目标”中对数学运算能力的要求是“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力”。

对“运算能力”提出了详细的考试要求是“努力培养学生的思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式做出思考和判断”。

依据国家教育部2002年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》编写的《普通高等学校招生全国统一考试大纲》指出：数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力与素质的考查融为一体，全面检测考生的数学素养，在其“能力要求”中也对“运算能力”进行了说明：“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算，运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能”。

依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》编写的《普通高等学校招生全国统一考试大纲》中，在考查考生“运算求解能力”的同时，增加了考查考生“数据处理能力”。

对“运算求解能力”的要求为“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算，运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。

[例4]2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第（4）题：

若考生能够知晓共轭复数的乘积是实数，则有m²=1且m=-1.选B，对“运算求解能力”的要求减少了“实施运算和计算的技能”，体现了考生对“数学模式作出思考和判断”。

5.《普通高中数学课程标准（实验）》（中华人民共和国教育部制定，2017年4月第1版）的“学科核心素养与课程目标”，对“数学运算”能力的要求：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

数学运算是解决数学问题的基本手段，数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。

数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

[例5]广西2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题第（2）题：