初探均值不等式在数学解题中的应用

卢迎春 曹庆逸

[摘 要]均值不等式的应用是高中数学的重要内容，也是高中数学的一个难点，它因题型广泛、涉及面广、灵活多变，备受命题者的青睐，成为历届高考中的高频考点.应用均值不等式既可解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程结合来解决代数、几何及實际应用领域中的问题.应用均值不等式解决函数、方程问题时，关键要将问题转化与化归.转化时需适当运用配方思想、函数思想、分类讨论思想来分析解决问题；化归时要注意变量的范围和式子的等价性.在利用均值不等式求值时，一定要紧扣“一正”“二定”“三相等”这三个条件.

[关键词]均值不等式；数学解题；转化；化归

[中图分类号] G633.6[文献标识码] A[文章编号] 1674-6058（2018）11-0025-05

不等式是高中数学知识的重要组成部分，是解决初等数学问题的重要工具，而均值不等式以它广泛的应用，成为高中数学不等式中的一朵奇葩，它美丽的身影遍布在高中数学所有的章节中，所到之处，流光溢彩，魅力四射！它既可解决函数、方程等方面的问题，又经常同函数、方程结合来解决代数、几何及实际应用领域中的问题.在高考注重改革和创新的今天，对它的应用考查所占比例越来越大.均值不等式越来越多地渗透到各类高考题之中，既可通过选择题或填空题考查有关它的基础知识和基本公式，在大题和压轴题中，更是常有它如明星大腕般的闪亮身影，它主要考查学生的逻辑思维和解决问题的能力.下面分享一下我们在均值不等式方面的一些探究成果.

通过以上几个例题，我们可以总结得出，在应用均值不等式解决函数、方程的问题时，关键要将问题转化，如果条件不够转化的，应当积极地创造条件合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧.转化时，还需适当地运用配方思想、函数思想、分类讨论思想来分析解决问题.化归时，要注意一些变量的范围和式子的等价性，在利用均值不等式求值时，一定要紧扣“一正”“二定”“三相等”这三个条件，即每个项都是正值，所有的项能同时相等，而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙分拆、组合.添加系数等使之能变成可用基本不等式的形式的关键，倘若多次运用不等式求值，必须保持每次取“=”号的一致性.

7.均值不等式在实际问题中的应用

【例11】 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池.如果池的四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.

在应用均值不等式解决实际问题时，一般先要通过阅读充分理解材料，寻找材料中量与量之间的内在联系，抽象出材料中的主要特征与关系，建立起能反映其本质联系属性的数学关系式，从而建立起最佳的数学模型，然后应用相关知识解决问题.

总之，均值不等式的应用是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的一个难点，因其题型广泛，涉及面广，灵活多变，备受命题者的青睐，成为历届高考中的高频考点.在题目的设计上，年年别出心裁，常常将不等式与函数、数列、三角等综合考查，重在考查考生的运算能力和逻辑推理能力.

（责任编辑 黄春香）