问题追溯数学本源导学彰显数学价值

陈华曲

[摘要]《空间直角坐标系》是高中数学教学中的一节新授课.本节课在“问题导学”的教学模式下，在五个教学环节中通过问题的引导，让学生从数学本源出发，体会知识再创造的过程，并逐步进入高阶思维，培养学生的空间想象、数学抽象、类比推理等能力，体现以培养学生数学核心素养为目标的数学教育价值.

[关键词]空间直角坐标系；数学本源；价值；维度

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05000302

道德经有言：“天地有道，道生一，一生二，二生三，三生万物.”从数学的角度来看，这其实是全部数学的开端.人们用零来表示虚无，然后从零开始，以自然数计数，由一到二，二到三，直到无穷，这个过程体现的是一种哲学上的思想，即现代数学的本源.《空间直角坐标系》这一节新授课的知识目标是让学生认识空间直角坐标系；学会建系；标点坐标；由坐标找点的具体位置.课堂通过层层递进的问题设置，追溯数学本源，让学生感受知识的来龙去脉，深刻地理解建立空间直角坐标系的必要性和合理性.顾亚龙老师在书中写到“回溯数学本源，我们可以通过生动具体的数学教学活动，让学生经历数学知识再创造的过程，这也正是一个数学文化再创造的过程”.本节课也正是基于这样深层次的教学目标，尝试在五个教学环节中，在问题的引导下，逐步让学生进入高阶思维，体现出真正的数学价值.

一、生活问题“数学化”，以点出发溯本源

点动成线，线动成面，面动成体.从点的集合论的角度出发，可以理解为所有的空间几何体都是由点组成的.如果要更深刻地理解这句话，首先要理解一个词“维度”.一般维度是用来表示空间或时间的.通俗地讲，维度其实就是物体自由变化的范围.比如零维的点，维度上升一维，有了左右的运动变化，就形成线.一维的线，多了一个前后的运动变化，维度上升一维，就形成二维的面.“面动成体”同理.因此，我们常说，我们生活的空间是“三维”的，空间几何体是“三维”的.因此，点在不同的维度空间自然有不同的表示方式，下面我们就从一点

出发追溯数学本源.

二、运动变化表其外，坐标介入蕴统一

点动成线：由简单入手，最简单的线是直线.

问题1：在一维的直线中，如何描述点的具体位置？

在一维直线中，数轴上的任意一点都可用对应一个实数x表示.x的变化体现的就是一个维度的变化.一维直线上的点与实数集里的数就一一对应了.数轴三要素为原点、单位长度和正方向.只有三个要素均确立，才能刻画出一个点相对于原点的变化.

线动成面：由简单入手，最简单的面是平面.

问题2：在二维平面中，如何描述点的具体位置？

建立平面直角坐标系，平面上任意一点都可用一对有序实数（x，y）来描述它的具体位置. x、y的变化体现的就是两个维度的变化.有了平面直角坐标系，平面内的点就与二维实数对（x，y）一一对应了.

面动成体：在三维空间中，又该如何表示点呢？

取一个平面的一部分，以一个矩形ABCD为例.当矩形多了一个维度，即点多了上下的变化，可以得到一个空间几何体：长方体ABCD-A1B1C1D1.

问题3：在三维空间中，如何描述点的具体位置？

可以类比平面中点的表示方法，建立一个空间直角坐标系，用有序實数组（x，y，z）来表示.作一条垂直于x轴

和y轴所形成xOy平面的z轴，适时追问：“为什么要垂直呢？”“因为纬度的变化是上下的变化.”这样的回答，学生可能会产生模棱两可的感觉.学生疑惑：如果z轴不垂直于xOy面，也可以产生有序实数组，用之描述点的具体位置吗？此时，教师可以肯定学生的想法，然后让学生自己去尝试建系.比如z轴与xOy平面所成角为135°.然后保留两种方式的空间坐标系.

继续追问：“为何要从坐标原点作垂直的z轴呢？”讨论点的变化范围应该共起点.当点A运动到点A′时，它在前后、左右的方向上并没有变化，所以它的坐标中的x、y并没有改变，而z的值就得看点是向上还是向下变化，即与z轴的正方向相同还是相反.z的变化体现的就是第三个维度的变化.

规范空间直角坐标系的建立.第一步，确定x轴和y轴的xOy平面，一般使∠xOy=135°，看起来更直观.第二步，确定z轴，z轴垂直于xOy平面，使∠yOz=90°.用多媒体课件展示，介绍坐标原点、坐标轴、坐标平面、右手直角坐标系.

问题4：在空间直角坐标系中，如何写出一个定点的坐标？你的方法是什么？

请学生写出空间直角坐标系下的正方体各个顶点的坐标，在写坐标的过程中，不同的学生会有不同的方法.无论是哪种方法，本质上是一致的，都是分别从三个维度去寻找（x，y，z）.这是一个逆向思维过程，每降一个维度，就可以相应的找到一个坐标.接着，教师可以给出一个特殊的实数组，如（1，1，1），学生很容易发现，点也是唯一确定的.这就是说，明确了横坐标、纵坐标和竖坐标，空间中点的位置就唯一确定了.有了空间直角坐标系，空间中的点就与三维有序实数组一一对应了.

三、深度剖析结构特征，培养数学高阶思维

请学生在原来建立的坐标系（即z轴与xOy所成角为135°的空间坐标系）上描出一个单位正方体的各个顶点，然后连线.显然，这时画出的正方体直观感觉上就“不正”，对比空间直角坐标下的正方体，选择哪种建立方式就不言而喻了.继续追问：“为了使得直观性更强，不同的坐标轴上的单位长度应该怎么选取呢？”因为学生在画平面的直观图时已经掌握了

y轴

和z轴的单位长度的选取方式，而z轴的单位长度的标识更多的是一种直觉.教师可在此强化这种直觉的数学性.让学生去感受z轴的单位长度如果发生改变，比如z轴的单位长度是y轴的单位长度的100倍，那么我们在描点时就增大了操作的难度，降低了可行性.让学生切身体会到数学中这种“自然而然”的合理性.因为可以总结出空间直角坐标系的几点内涵：（1）空间直角坐标系的三条坐标轴是两两垂直的，三条轴共原点.（2）画图时，z轴与y轴所成角是135°，y轴与z轴所成角是90°.

（3）画图时x轴上的长度变成原来的一半，y轴和z轴上的长度保持不变.

教师：为了更加熟练地写出空间中点的坐标，大家回头想一想，在写正方体顶点坐标的过程，你有什么发现？

问题5：你能否发现并总结出空间中点的坐标的特点？

再次引导学生总结出空间直角坐标下点坐标的几点内涵.

（1）坐标轴上的点的坐标的特点：（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）.

（2）坐标平面上的点的坐标的特點：（x，y，0）（x，0，z）（0，y，z）.

（3）既不在坐标轴上也不在坐标平面上的点的坐标的特点：（x，y，z）.

[设计意图]深度剖析空间直角坐标系的几何与代数特征，培养学生的数学高阶思维.培养高阶思维，正是现代数学重要的价值体现.

解析几何的魅力：通过坐标系，建立起代数与几何的桥梁.建立空间直角坐标系也是希望通过代数运算去研究几何图形.因此如何使得代数运算更“简”就显得尤为重要了.那么，基于空间中点的坐标具有的特点，在什么位置建系才能更“简”呢？

四、思想触动心灵，实践检验真理

通过一个晶胞的建系描点，让学生体会不同的建系方法，感受坐标规律，引导学生挖掘出几点外延.

（1）选取坐标系的原则：使得更多关键的点落在坐标轴或坐标平面内.结合实际，建系时三条坐标轴的方向选取以直观性强为基本原则.（右手直角坐标系“转一转”也可以）.

（2）关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的特点：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标则相反.

（3）类比平面直角坐标系把平面分成四个象限，空间直角坐标系把一个空间分成八个卦限.

【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，E，F分别是AC和BB1的中点，求点E，F的坐标和点E关于点D的对称的点的坐标.

（例题的训练是为了检验学生是否掌握在空间直角坐标系下写出点的坐标的方法，并由此发现空间中点坐标的公式.）

问题6：如果给出空间中一个点的坐标，你能准确地找到在空间直角坐标系下点的位置吗？你的方法是什么？

这是一个逆向思维的过程，通过这个思维训练，让学生学会把空间的问题投影到平面上解决，降一个维度，把复杂的问题简单化.

总而言之，本节课的教学设计着力于建立空间直角坐标系，并描出空间直角坐标系中点的坐标.抓住学生思维起点设置问题，并根据学生思维情况开展二次生成问题的研究.致力于启发学生从高观点上去思考与理解概念，引导学生逐步学会将知识的学习上升到数学思想和数学素养的层面上，培养学生解决问题的能力，并使之内化为自身对现实世界的独特领悟，实施更有价值的数学教育.

（责任编辑黄春香）