探索以圆为背景的综合题解法

雪年志

[摘要]圆是初中几何的重点和难点，圆的考查往往与三角形、三角函数和平面直角坐标系相结合，这类问题具有一定的综合性.研究这类问题的解法具有一定实际意义.

[关键词]圆；三角函数；综合题；解法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08002102

作为初中几何中的重要内容，圆的考查在中考中是不可或缺的，与圆相关的考题在近年的中考中也是层出不穷.因此，对以圆为背景，与三角形相结合的问题，有必要做一个专题总结.笔者在这方面做了一些研究.

一、联系中考，原题再现

【例1】（2017年苏州市中考第27题）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD，CD与OE交于点F.

（1）求证：△DOE∽△ABC；

（2）求证：∠ODF=∠BDE；

（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1∶S2=2∶7，求sinA的值.

分析：

（1）由于AB是圓的直径，而∠ACB是直径所对的圆周角，所以ACB=90°，而DE⊥AB，∠DEO=90°，∠DEO=∠ACB.根据OD∥BC，可知∠DOE=∠CBA，所以两个三角形的三个内角分别相等，所以△DOE∽△ABC.

（2）因为△DOE∽△ABC，所以∠CAB=∠ODE=∠ODF+∠FDE，根据“同弧所对的圆周角相等”，所以∠CAB=∠BDC，所以∠ODF+∠FDE=∠BDE+∠FDE，等式两边同时消去∠FDE，所以∠ODF=∠BDE.

本题主要考查以圆为背景的平面几何知识，通过证明两个三角形相似引出接下来的问题.第2问主要考查圆的相关性质.最后一问则具有一定的难度，但是只要认真分析，也能够很好地解决问题.通过圆与三角形的结合，深化了对初中数学中知识的考查效果，对学生的综合能力提出了比较高的要求.

二、结合条件，巧添辅助线

由于圆的特殊性质，许多条件都比较隐蔽，需要通过添加辅助线才能更好地利用这些条件.辅助线的添加能够让问题的解决变得更加简单，能够起到事半功倍的效果.接下来的例题就是通过添加辅助线来解决.

【例2】（2017年甘肃省中考模拟题）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F，EF是⊙O的切线.请问如果EB=32，且sin∠CFD=35，⊙O的半径以及线段AE的长各是多少？.

分析：

已知sin∠CFD和EB，求圆的半径及AE，可以利用△ODF和∠AEF均为直角三角形的特殊性，用边长比值表示sin∠CFD的值.即

上述解题过程充分利用三角函数的定义建立圆内线段的关系，并结合几何性质来实现了问题的解答.通过结合题目中的已知条件，巧妙地添加辅助线，再利用同角直角三角形，通过三角函数的相关知识，解决了问题.

三、结合坐标轴，问题再深化

以圆为背景的问题也常常与平面直角坐标轴相结

.

本题根据单位圆的性质，巧妙地将P点的坐标用三角函数的形式表达出来，通过三角函数与圆的有机结合，通过点的坐标将三角形的边长表示出来，再利用三角形的面积公式列出式子，巧妙地解决了问题，简化了解题过程，大大地提高解题效率.

对于以圆为载体的几何题要充分利用圆的几何性质，通过添加辅助线，提取特殊图形，利用坐标系，实现问题转化，从而快速地解决.这类问题一般都具有一定难度，需要学生具备扎实的基础知识才能解决问题.所以，学生在平时的复习中也要多做这类问题的练习，建立相应的知识体系，才能做到以不变应万变.

[参考文献]

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[2]秦怡.回到概念，让解题念头“自然生成”：从一道几何难题的思路突破说起[J].中学数学，2016（4）.

[3]韩菲菲.无中生圆，圆满解题：由一竞赛题所联想到的[J].数学教学通讯，2017（2）.

[4]薛雯.矩不正，不可为方；规不正，不可为圆：初中数学解题规范的透视与探析[J].数学教学通讯，2016（20）.

（责任编辑黄桂坚）