由一题多解到优化解法

张辉

[摘要]在数学教学中，一题多解能训练学生发散思维.在众多解法中确定最好的解法，能提高解题效率.

[关键词]高中数学;一题多解;优化;解法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章編号]16746058（2018）08002501

题目：在△ABC中，sinA+cosA=15，求tanA的值.

解法1：sinA+cosA=15①，两边平方得1+2sinAcosA=125，

即sinAcosA=-1225②，

联立①②得

sinA=45，

cosA=-35

或sinA=-35，

cosA=45

因为0

所以sinA>0，

故sinA=45，

cosA=-35，

可得tanA=

sinAcosA

=-43

.

解法2：

sinA+cosA=15

①，两边平方得

1+2sinAcosA=125，

即sinAcosA=-1225，可得π2

（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=4925

，

sinA-cosA=75②，

解①②得

sinA=45，

cosA=-35，

可得

tanA=sinAcosA=-43

.

解法3：sinA+cosA=15，

两边平方得1+2sinAcosA=125

，即sinAcosA=-1225，

∵sinAcosA=

sinAcosAsin2A+cos2A

=tanAtan2A+1

，

∴tanAtan2A+1

=-1225

，

解得tanA=-43或tanA=-34

.

由

sinA+cosA>0，

sinAcosA<0，

0

得

|sinA|>|cosA|，有|tanA|>1，

∵tanA=-43.

解法4（参数法）：设

x=cosA，y=sinA>0，

则x，y满足x2+y2=1，x+y=15，

tanA=yx，易知点B（x，y）是直线x+y=15与圆

x2+y2=1在第二象限的交点，

令yx=k，则k为直线OB的斜率，在△AOB中，求∠AOB的正切值即可.

易知

∠AOB=45°，OA=15，OB=1，由正弦定理得

OBsin∠OAB=

OAsin∠OBA，

即

1sin45°=15

sin∠OBA

，可得，

sin∠OBA=210，

tan∠OBA=17，

所以

tan∠AOB=-tan（∠ABO+∠OAB）

=-

17+1

1-17

=-43.

变式：点B（x，y）满足x2+y2=1和x+y=15，且点B（x，y）在第二象限，则yx=.

易知此题至少有4种解法，可归为两类：几何法和三角代换法.上述解法中优选解法2.解法3是学生比较容易想到的方法，但运用此法要注意合理取舍，并且该交代的理由要交代清楚.例如，计算出tanA=-43或tanA=-34，如果只交代0

（责任编辑黄桂坚）