建模意识：通向数学素养的内设桥梁

陆佳凤

摘  要：学生的数学学习过程，本质上就是学生从已有知识经验出发，经历将现实原型抽象、概括成数学模型并进行解释应用的过程。在数学教学中，教师要引导学生的模型准备、模型建构和模型应用。数学建模意识，是通向学生数学核心素养培育的内设桥梁。

关键词：小学数学;建模意识;数学素养;内设桥梁

数学建模与数学教学有着相互制约、相互促进的关系。从某种意义上来说，数学教学就是数学模型的建构教学，一切的数学原理、法则、定律等都可以看成广义的数学模型。学生的数学学习过程，本质上就是学生从已有知识经验出发，经历将现实原型抽象、概括成数学模型并进行解释应用的过程。正如东北师范大学史宁中先生所说的：“学生的数学核心素养主要有抽象、推理和模型。”培育学生的数学建模意识，是走向学生数学核心素养培育的内设桥梁。

一、模型准备，唤醒学生已有知识经验

数学建模，从整体上看就是数学化的过程。数学化，包括横向数学化和纵向数学化。所谓“横向数学化”，就是从生活原型到数学符号的提炼、抽象过程;所谓“纵向数学化”，就是数学符号的模塑、生成和被使用。站在学生数学学习的“最近发展区”，教师首先需要提供贴合学生经验的背景，激活学生的经验储备，引领学生进行“横向数学化”。在这个过程中，学生需要将生活语言转译为数学语言，将数学语言转译为数学符号。

站在学生数学建模的“最近发展区”，教师要丰富建模内容，激发建模兴趣，指导建模方法。数学建模的基点是学生，根源在于生活原型。比如教学“乘法分配律”（苏教版四下），教师就可以通过学生在生活世界中的问题入手，引导学生从生活事理出发，通过去粗取精、去伪存真的提炼、抽象，运用数学不完全归纳方法，合情合理地进行数学猜想、验证，从而助推学生建构数学模型。如“一种童装，上衣每件80元，裤子每条40元，学校某个班级一共购买了50套，一共需要多少元？”“一名工人装置一种模具，上午能装置20个，下午能裝置30个，一周装置5天，一共能装置多少个？”等等。在解决问题时，引导学生说出列式的根据，也即生活事理。比如针对第一个生活实际问题，可以先算一套童装多少元，再算50套童装多少元;也可以先算50件上衣多少元，50条裤子多少元，再计算50套童装多少元，等等。通过生活事理的阐释，引导学生从生活事理向数学算理嬗变，从而引导学生建构乘法分配律。

培养学生的数学建模意识，关键在于教师要选取贴合学生生活的典型事例，这些事例要具有代表性、适切性，从而便于引导学生进行数学化处理，即从学生的生活原型过渡、提升到数学模型。如此，既有利于促进学生对生活事理的内涵、属性的理解，也有助于向学生渗透数学的符号意识、代数思想。

二、模型建构，丰富学生数学活动经验

数学模型的建构离不开学生的数学活动，同时数学模型的建构又有利于积累学生的数学活动经验。在数学模型建构过程中，教师要引导学生充分活动，让学生在活动中建立表象。在这个过程中，要充分运用学生的已有活动经验，引发学生积极迁移，促发学生自由联想，从而积极建构数学模型。作为教师，要为学生打造活动平台，赋予学生充分的活动时空、条件，助推学生的数学建模。

比如教学“长方形的面积”，笔者就给学生提供了边长为1平方厘米的小正方形，引导学生拼摆指定规格的长方形。学生自觉地展开活动，他们或两个一组，或三个一组，展开小组合作学习，有的小组成员负责拼摆，有的小组成员负责记录，有的小组成员负责计算个数，等等。通过数学活动，形成关于长方形面积模型的猜想。在拼摆的过程中，学生发现有些规格的长方形用小组中的小正方形塑料片不够拼，但还是能够拼一行、一列的，也就是说，材料是“缺斤少两”的。为此，学生就自觉地运用数学猜想解决实际的操作问题，同时借用其他小组的小正方形塑料片来拼摆，从而进行有效验证。通过数学猜想、验证等活动，学生就能摆脱物质化的拼摆操作，建构数学化、符号化的模型。学生经历了猜想、验证的数学活动过程，不仅能积累数学活动经验，还能感受、体验到数学建模方法，形成数学建模意识。

小学生数学思维以具体形象思维为主，兼具直观动作思维，而数学模型是理性的、抽象的。因此，引导学生进行数学活动，让学生经历数学建模的过程，逐步抽象概括，就能建构起清晰的、准确的数学模型。

三、模型应用，激活学生数学认知经验

通过数学模型的建构，学生积累了丰富的数学活动经验，这些经验逐步内化，从而成为学生认知结构的重要组成部分，这就是学生的认知经验。在经历了模型准备、模型建构的过程中，教师要引导学生的模型的解释、表达与应用。在模型应用中，激活学生的数学认知经验。这个过程，就是对数学模型进行意义赋予的过程。在这个过程中，学生能感受、体验到数学模型的意义。

比如教学“解决问题的策略——间隔排列”（苏教版三上），当学生建构了数学模型之后，笔者出示问题，让学生运用所建构的数学模型去解决实际问题。只有引导学生将抽象的数学模型通过解释、表达与应用，才能彰显出数学模型的价值。通过模型的应用，学生的数学建模意识能潜移默化地得到增强。比如“一串珠子一共有40颗，首端为黑色珠子，按照一一间隔的顺序排列，末端为红色珠子，一共有多少个黑珠子、有多少个红珠子？”“一串珠子一共有40颗，首端为黑色珠子，按照一一间隔的顺序排列，末端为黑色珠子，一共有多少个黑珠子、有多少个红珠子？”“一串环形的珠子一共有40颗，按照黑珠子、红珠子一一间隔顺序排列，一共有多少个黑珠子、有多少个红珠子？”等等。这样的“一题多变”“一题多问”，能让学生明晰各种形式的间隔排列问题。在模型的变式运用之中，学生能体会到数学模型的本质。

如果说，从生活原型到数学模型的建构是数学化的过程，那么，从数学模型到生活原型就是生活化的过程。这两个过程在数学建模教学中是相辅相成、相得益彰的。从一类问题拓展到另一类问题，学生对数学模型的理解更本质、更全面、更深刻。从数学模型到现实原型，学生更能感受、体验到数学模型的功能、魅力。

培养学生的建模意识，就是要让学生经历完整的数学建模过程。在这个过程中，学生不仅经历了完整的行为操作，而且经历了充分的思维活动过程。他们不断地猜测、不断地验证、不断地探究，从而不断地对模型进行丰富、完善。培养学生数学建模意识，不仅是为了获得数学模型，更是要助推学生数学地把握、数学地处理现实问题，形成数学化处理问题的观念、习惯，这是真正的数学建模意识，也是数学建模教学的最高境界。