论数学操作重于形式还是重于意义

马明亮

摘 要：瑞士儿童心理学家皮亚杰认为：“6～12岁的小学生心理发展的重要特点是对新鲜的具体事物感兴趣，善于记忆具体的事实，而不善于记忆抽象的内容。”数学是一门抽象性、逻辑性很强的学科，而小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，数学操作正是在数学知识的抽象性与学生思维的形象性之间架起的一座“桥梁”。

关键词：数学操作；意义；形式

一、数学操作的现状

随着新课改的深入推进，教师对现在的数学课堂也做了一些形式的改变，但由于教师对数学操作解读有误，存在浪费资源的现象，影响教学效果。

1.浪费时间

新课程要求课堂教学要给学生留足思考的空间，提倡进行版块式的教学，所以很多教师在教学过程中进行了部分环节合并教学的尝试，在操作活动中也往往如此。如“认识吨”一课，书本的主题图每袋大米100千克，10袋这样的大米重1吨。教材的意图是通过推算的方法帮助学生正确建立“1吨”的概念。有的教师准备了一袋10千克的大米，请班里的大力士来拎一拎，问他：“这袋大米重不重？”大力士说：“不重。”教师接着往袋里倒大米，现在变成了20千克，再请那位学生拎一拎，问他：“这袋大米重不重？”那位学生说：“不重。”这时，教师把这袋大米加到50千克，再请那位学生拎。只见那位学生拎不动，此时教师说：“现在这袋大米重50千克，20袋这样的大米重1吨。”笔者觉得每位学生的力气有大小，光凭一位学生的感觉也不能很好地帮助大家建立1吨的概念。显然，这样的操作是浪费时间。这还是要回到教材上来，通过学生已经学过的“千克”，进行合情推理，从而帮助学生正确建立“1吨”的概念。

2.制造麻烦

“三角形三边关系”一课，教学两边之和等于第三边时能否围成三角形，有位教师就直接请学生拿出6厘米、2厘米、8厘米的3根小棒进行操作，看能否围成三角形。学生都很认真，大多数学生通过操作认为不能围成三角形。这时有位学生突然举手说：“老师，这3根小棒可以围成一个三角形。你看我围的，那儿有一点点突出来，所以是可以围成一个三角形。”这位学生一说完，之前认为不能围成三角形的学生，再认真地摆一摆，觉得也可以围成三角形了。这位教师素养也不错，看到这个情况后，立刻进行引导，得出这3条线段是不能围成三角形的。即便这样，学生还是不买账，因为他通过操作之后觉得这3条线段的确是可以围成一个三角形的。由此可以看出这个数学操作给这节课带来了多大的麻烦。

3.影响效果

“三角形的内角和”一课，教学任意三角形的内角和是否都等于180°，教师要求学生任意画一个三角形，用量角器量出每个角的度数，最后相加得出结论。教师的话音刚落，学生就开始认真地画任意三角形。在测量角的度数时，学生不会表示角的度数了，因为此时角的度数不是整数，四年级的学生自然不会表示。这时的教师也很机智，把问题抛给学生“那你还有其他办法吗？”这样处理之后，课是继续进行了，可留在孩子心中的疑问还没解決，影响教学效果。

二、数学操作的范式

笔者认为数学操作的范式应该符合三个特点：规范性、合理性、高效性。

1. 数学操作的规范性

数学操作虽然没有统一的模式与要求，但不以规矩不成方圆，随心所欲、信手拈来、草率从事的做法是不可取的。经过精心设计，合乎逻辑关系的数学操作，不仅能使学生更容易获得知识，而且也有利于提高学生的逻辑思维能力。

例如：教学“正方体的展开图”一课，在演示正方体展开的过程中，有的教师借助高大上的教学软件演示给学生看，由于类型比较多样，学生一时间难以全部掌握。有的教师稍作改进，借助教学软件，分类呈现。这样处理虽然能让学生较好地认识正方体的展开图，但是忽略了学生的空间想象能力有限，也很难达到预期的教学效果。由此，笔者认为在教学正方体展开图的时候，可以在明确要求的前提下，让每位学生动手操作，在实践的过程中不断积累学习经验，从而内化为知识。首先出示活动一：（1）用剪刀把自己准备的正方体纸盒按任意方式沿棱展开，你能得到哪些不同的展开图？（2）补充说明：正方体纸盒按任意方式沿棱展开，必须确保六个面相连。（3）比一比，哪个小组的展开图更与众不同。学生在明确操作要求的前提下，可以更好地开展操作活动，既可以激发学生的学习兴趣，又可以降低学习难度，还能培养学生的发散思维。等学生完成操作后，把学生的作品有序地投影到大屏幕上，让学生在交流的过程中不断充实对正方体展开图的认识。在此基础上，总结正方体展开图的规律。接着出示活动二：将你的正方体展开图还原成正方体，将正方体上相对的面标上不同的颜色后再展开，和你的小组成员进行观察、讨论，探索正方体展开图相对的面的规律。这时，学生在原有认知的基础上进一步地研究，从而得出规律——一般的有“I”型图或“Z”型图两端的正方形必为折成正方体的对面。通过数学操作，不仅可以大大降低学生的学习难度，而且可以让学生在操作的过程中更深刻地认识与理解正方体展开图的知识，还可以培养学生的思维能力。

2. 数学操作的合理性

心理学研究表明：小学生的思维处于无序思维向有序思维的过渡阶段，因此，教师要积极引导和帮助学生度过这个阶段，训练思维的条理性。在数学操作过程中，要注意数学操作的合理性，培养学生的有序思维。

比如之前提到的“三角形三边关系”一课，在探索两边之和等于第三边能否围成一个三角形时，教师如果意识到此时让学生动手操作是不合理的，因为不确定的因素太多，极易造成被动局面，于是换成动画演示，再加上适当的想象。让学生明白：两边之和等于第三边时，这三条线段在一条直线上，自然就围不成一个三角形了。这样处理，不仅体现数学操作的合理性，而且还培养了学生的想象能力。把这个知识与之前探究的知识联系起来，体现了有序思维。

再比如“三角形的内角和”一课，在处理任意三角形的内角和是180°时，让学生任意画三角形，再用量角器测量得出结论的方法也是不合理的。此时，可以借助工具（任意画一个三角形，可以显示每个角的度数以及三个角的度数和），在学生面前操作，任意画一个三角形，学生一眼就能明白：三个角的度数一直在发生变化，但三个角的度数和始终是180°。这样一来，既解决了学生心中的疑问，也培养了学生的观察能力，还体现思维的有序性。

3. 数学操作的高效性

数学操作的高效性是指通过数学操作使学生在知识技能、数学思考、解决问题、情感与态度方面获得协调发展，高效地实现预期的教学结果。

例如“圆柱的体积”一课，圆柱体积的推导过程一直是教学的重点与难点，光靠教师讲解，学生是很难掌握的。如果让学生借助学具，按照书上的要求进行操作，使每一位学生都经历把圆柱转化成近似长方体的过程，学生自然就能明白：长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱底面半径，长方体的高等于圆柱的高。通过进一步的观察、比较，他们还能发现长方体的表面积比圆柱的表面积多底面直径乘高（即hd）。通过数学操作，学生就比较容易理解与掌握圆柱体积知识，高效地实现预期的教学效果。

综上所述，数学操作绝非停留在形式上，而是要结合学生实际与教材特点，设计出有意义的数学操作，帮助学生获得数学知识的同时，形成丰富的数学活动经验，并在思维能力、情感态度和价值观等方面得到发展。