“用分数解决问题”的教学实践与思考

黄珍珍

摘 要：“用分数解决问题”在解决问题教学中占有重要地位，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要途径。笔者结合教学实践，总结出“意义为本”“量率为重”“图表为索”“正逆一体”这四条有效途径，旨在切实提高学生解决问题的能力。

关键词：小学数学；分数教学；解决问题

《新课标》指出：“使学生能够运用所学的数学知识和方法探索和解决简单的实际问题。”用分數解决问题，就是对分数相关知识进行综合运用的一个过程，也是六年级数学教学的重难点，为后续的“比”和“百分数”的学习奠定基础。如何开展用分数解决问题的有效教学，笔者认为可以从以下四点着手。

一、意义为本，追本溯源固根基

部分教师在教学分数时，过于重视数量关系的梳理，忽视了意义的教学，更忽略了意义和数量关系的对接。原因是意义较为抽象，学生较难理解，教师便避重就轻。须知“根深”才能“叶茂”，只有对意义有了深切的理解和体会，才能更好地领悟数量关系。人教版教材在学习“用分数解决问题”之前，安排了如表1所示学习内容。

这些关于意义教学的课，犹如分数教学的“种子课”，只有在“种子课”的教学上未雨绸缪，才能避免分数解决问题时的亡羊补牢。

（一）基于分数的意义理解找准单位“1”

传统分数应用题教学中，常用的方式是：找关键句，定单位“1”，列式解答。找准单位“1”是至关重要的一步，通常只要关注题目中的关键字“占”“是”“比”等就可以了，准确率极高，但这种机械的套题解题模式，并非基于真正地理解，学生沦为靠识别简单标记做题的机器。

学生在之前《分数的意义》这节“种子课”的学习中，已经对单位“1”有了清晰的认识，知道被平均分的一个物体或者一个整体就是单位“1”，解决问题教学时，就可以从分数的意义进行分析，从而理解和确定单位“1”。如：①男生人数占合唱团总人数的；②今年植树棵数比去年多。第①条信息中的，是把合唱团的总人数看作单位“1”，平均分成3份，其中男生的人数占了1份；第②条信息中的，是今年植树棵数比去年多出的部分占单位“1”的分率，与去年比较，把去年植树的棵数看作单位“1”，平均分成5份，多出的棵数相当于5份中的1份，即。这样，学生在真正理解了分数意义的情况下，找准了单位“1”，为下一步分析数量关系奠定了扎实的基础。

（二）基于分数乘法运算的意义分析数量关系

找准单位“1”是用分数解决问题的重点，厘清数量关系是贯穿解题始末的关键。分数应用题中的数量关系依托的就是分数乘除法运算的意义。在意义的教学中，不难发现，意义的内涵非常抽象，学生接受起来比较困难，可以尝试从实际问题出发，抽象出运算的意义，那么在以后的解决问题教学时，就能事半功倍。以分数乘法意义的教学为例，为了便于学生对于“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，创设实际情境如下：小轿车每小时行驶60千米，小时可以行驶多少千米？根据实际意义，速度×时间=路程，那么60×=15（千米）就可以算出结果。我们可以知道，1个小时行驶60千米看作单位“1”，小时就是将1个小时平均分成4份，取其中的1份，也就是求60千米的是多少，用乘法可以算出，将这个问题的实际意义和分数乘法运算的意义联系起来，从而抽象出分数乘法的意义，即：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。

在树立了“求一个数的几分之几是多少”可以用乘法来计算的意识之后，就可以引导学生提炼出数量关系（如图1），便于学生合理建构知识。

正是有了上述的学习经验，在《用分数解决简单问题》的教学中，学生自然而然地想到借助分数乘法运算的意义来分析数量关系。

二、量率为重，秉要执本巧思考

从整数到分数，实现了数系的拓展，内涵的延伸。分数有两层内涵，既可以表示具体的量，又可以表示分率，数量关系发展为部分量与总量之间的比较，甚至是并列的两个量之间的比较，也就是两个量都可以作为单位“1”。为了让学生从具体的数量关系分析转变为分率的分析，完成思维形式的转折，教学时教师秉承了量率为重的指导思想。

（一）正确辨析，感受量与率的不同

量与率的不同，对于学生来说，理解起来较为困难，如何突破呢？不少教师在教学《分数的意义》一课时，通常会设置这样一道经典习题作为对比练习：两根绳子，一根绳子剪掉米，另一根绳子剪掉，哪一根绳子剪掉的多？“剪掉米”，就是剪掉0.5米，是一个具体的长度，不会因为绳子长度的改变而改变，这就是“米”这个量的恒定性；“剪掉这根绳子的”就比较复杂了，假设绳子长1米，剪掉它的就是0.5米，剪掉的和第一根绳子一样长，假设绳子长0.5米（或2米），剪掉的就会随着绳长的变化而变化，这就是“”作为率的相对性。

（二）辩证合一，体会量与率的对应

量和率是对同一事物在不同视角下的两种不同的计量方法。解决分数问题时，有一个很明显的特征，那就是“量率对应”。对于同一个单位“1”而言，每一个具体的量都有一个分率与之对应，同样，每一个分率也必定有一个具体的数量与之对应，教师要指引学生正确识别量与率的关系，辩证统一，形成“量率合一”的意识。

如表2中，第二天煤的量是吨，表示具体的量，而吨占一堆煤的，这就是分率，这两个分数是“第二天烧的煤”从不同视角的两种表示方法。

（三）系统建模，梳理量与率的关系

在分数问题中，有三个代表性数据：标准量（即单位“1”的量）、分率以及比较量（即分率对应量）。纵观六年级的分数教学，用分数解决问题的题目类型可大致整理归纳为三大类（表3）。

在教学中，教师要将教学知识穿线织网，建构模型，有机地组成一个系统知识的教学，从而使知识活化、结构化，真正培养学生解决问题的能力。

三、图表为索，按图索骥展思路

用分数解决问题比较抽象，教师可强调以“数形结合”方式作为析题的途径，借助“线段图”这根强有力的“拐杖”，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，辅助学生顺利、高效地解决分数问题。

（一）识图，由图见题

线段图是为了直观地表现出分数问题中的数量关系，要让学生准确画图，养成用图的习惯，首先要学会识图，从而有样可依。教学中，可通过以下三张线段图（图2），引导学生学会看图、分析图意、说出图意、由图见题。

（二）画图，借图析题

线段图直观展示数量关系，强化量与分率的对应。学生常会在同一条线段上表示所有的量和率，导致线段图无法简洁明了地表达数量关系。教师应指导学生学会根据题意画图。教学时，首先要让学生厘清单位“1”的量，画图时，先用一条线段表示单位“1”的量，再根据题中的数量关系，画一条线段表示出相对应的量，并在线段上标出该线段表示的量和率以及题目中所求的问题。只有把线段图画准确了，才能更好地辅助学生完成题目的求解，线段图才能体现真正的价值。

（三）用图，顺图解题

教学中，教师要指导学生树立画图、用图的意识，用线段表示题中的具体数量，使数量关系更加直观，更加形象，化难为易，简单易解。但凡教过六年级的教师都有一个共同的感受：学生总是很难准确提取具体量和对应的分率，此时，用图实现量率合一尤为重要。如：东方小学去年植树节共植树600棵，比今年植树棵数的还多150棵，今年一共植树多少棵？到底是哪个量的对应分率呢？不好理解，此时，我们就可以借助线段图来进行分析（图3）。

由线段图分析可知，分率所对应的量应该是600-150=450棵，再利用数量关系式进行列式解答，450÷便可以求出今年植树的总棵数。

四、正逆一体，融合教学拓思维

人教版教材在用分数解决问题的教学内容安排上（见图4），由乘到除，由一步到两步，由正向到逆向，采取“单线”教学，比较清晰，但是在综合应用时却容易造成学生思路混乱，因而笔者主张在分数问题的教学中采用正逆一体的方法，强化正逆思路的融合，使学生的正逆思维同步发展。

（一）以正带逆，逆中见正

对于小學生而言，正向思维比较符合儿童的思维特点，教师在教学中，当正向思维的应用题为学生所接受时，应适当改变条件，转化为逆向思维的题目，创设认知冲突，激发学生自省、建构，以防思维定式。如在教学“求一个数的几分之几是多少”一课时，出示这样的一道题：一本故事书一共200页，小明已经看了这本书的，小明已经看了多少页？教师不妨顺势改变题中的信息，变式为：一本故事书，小明已经看了120页，占全书的，全书一共有多少页？通过同伴讨论探究可知，数量关系式依然是：故事书总页数×=已经看了的页数，只是刚才已知的是总页数，求已经看了的页数，这是正向思维，可用乘法解决，而现在已知的是已经看了的页数，反过来求故事书的总页数，由乘法各部分的关系可得：已经看了的页数÷=故事书总页数，列式为120÷=200（页）。

在这一变式过程中，我们已经完成了从正向“求一个数的几分之几是多少”到逆向“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的转变，让学生从题目、图、数量关系、方法等感受由正到逆、逆中有正的联系，得出解决方法，以求正逆同步前进，同步温故。

（二）正逆对比，形成思路

为了锻炼学生思维的灵活性，可重点进行审题训练，出示大量的正逆对比的习题，不要求解答，只要求仔细审题，分清谁与谁比较，找出标准量和比较量，快速说出方法。如设计以下题组：①牛郎星运行的速度是26米/秒，织女星运行的速度是牛郎星的，织女星每秒运行多少千米？②图书馆有故事书4800本，科技书的本数比故事书少，科技书有多少本？③一根竹竿，露出水面的部分是15分米，占全长的，这根竹竿全长是多少分米？④果园里有桃树120棵，梨树比桃树少，梨树有多少棵？⑤火车速度是每小时行驶120千米，相当于一种超音速飞机的，超音速飞机每小时飞行多少千米？

通过此类习题的训练，让学生明白：单位“1”的量×分率=分率对应量；如它是未知量，已知一个量的几分之几，求单位“1”的具体数量，用除法解：已知量÷对应分率=单位“1”的量，这是分析用分数解决问题的思维过程，也是解题的要领。

通过正逆对比形成思路。可通过找关键句对比、图式对比、类型对比等方式，逐步体验得出找单位“1”的量的方法，这样在对比练习中，无论应用题的条件如何变化，学生都能抓住应用题的数量关系，找到解决问题的途径和方法。

新课程下的解决问题教学，早已不仅仅是以例教题、以题论题的教学模式，在遵循教材编排体系的基础上，以意义为本，追本溯源固根基，以量率为重，秉要执本巧思考，以图表为索，按图索骥展思路，以正逆一体，融合教学拓思维，四点起步，架构分数教学，方能引解决问题教学走向更深处。