让学生的思维穿行在数学知识的生长过程中

沈海燕

摘 要：数学教学是数学思维活动的教学，让学生通过数学的学习“学会思维”是培养学生数学核心素养的本然诉求。由于学生数学思维的发展和提升以数学知识学习为载体，因此教学中要展现知识的生长过程，让学生的思维穿行在数学知识的生长过程中。

关键词：数学思维；知识生长；核心素养基于学生数学学习的视角，笔者认为，“数学素养”应当从三个层面来认识和把握：一是数学的基础知识和基本技能（双基），这是未来社会公民生存和生活所必备的素养；二是数学的问题解决策略，它依赖于学生的数学思想和方法；三是形成一种数学的思维方式、行动方式。这其中，知识技能是基础性素养，对应于工具理性；数学问题解决策略是一种方法性素养，对应于实践理性；而数学的思维方式则是一种核心的数学素养，对应于解放理性。所谓“数学思维方式”，笔者认为应该是善于从数学角度看问题，善于从数学的角度思考问题、解决问题，表现为理性思维、逻辑推理以及严密求证等。著名物理学大师爱因斯坦认为，素养就是“学校所学遗忘后的东西”，这遗忘后的东西笔者认为就是一种数学的思维方式。南京师范大学博士生导师郑毓信先生认为，数学教学不仅要让学生学会“数学地思维”，更要“通过数学学习学会思维”。因为数学思维不是思维的唯一形式，思维还有文学思维、哲学思维、艺术思维等。但是，基于数学学科教学的视角，笔者认为，数学思维应当是学生数学学习中的核心素养。那么，在数学教学中如何形成学生的数学核心素养——“数学思维”呢？毫无疑问，数学思维必须在数学知识的生发、生长、生成过程中形成，数学知识的学习是学生数学思维形成的有效载体。

一、教学设计：基于学生经验的挑战

学生的数学知识经验、活动经验是学生数学学习的出发点和归宿。一切数学教学都要基于学生经验、通过学生经验和为了学生经验。经验有两层内涵：一是经验的过程，即学生获得数学知识的经历、体验等；二是经验的结果，即通过学习获得的数学学习感受、感悟等。为了激活学生的经验，运用学生的经验，数学教学必须切入学生的“最近发展区”。为此，数学教师要把脉学生的认知起点，分析学生的认知障碍，了解学生的认知风格、认知特质等。可以采用调查法、访谈法、问卷法等一系列课前前测法，由此让数学教学更有针对性。以教学《用字母表示数》（苏教版小学数学教材第9册）为例，这一课不乏名家的教学设计，如特级教师柳小梅、特级教师蔡宏圣等。然而每一次教学都是一次历险、探险活动，教师需要真正实践的是“因材施教”和“循序渐进”，其中，“序”与“材”是教学设计的主导因素。所谓“序”，其内涵有两个层面：一是知识的逻辑顺序；二是学生的认知顺序。所谓“材”，既包括师生主体，也包括其他的教学媒介，如教材、多媒体等。为此，笔者一方面认真研读数学史，了解人类代数的发展历程，了解人类认识代数过程中的障碍，了解人类探索代数的关键步伐；另一方面，笔者向学生分发了问卷调查，了解学生作为具体人的学习现状。最终形成了这样的几点共识：学生对于字母表示特定的对象、对于字母表示一个概念的符号缩写等有一定的理解，但是学生对于字母可以表示一个变量，对于字母可以代表一组未指定的值等缺乏认识。基于此，笔者展开了《用字母表示数》的教学。

二、课堂教学：基于知识打开的视角

数学知识是人类“生命？实践”活动的智慧结晶，但数学知识在教材中是以“压缩形态”展现的，它遮蔽了数学知识诞生的鲜活历程。为此，教师必须对数学知识进行“解压”，在知识的“解压”过程中，学生能够领略人类探索知识的关键步子，能够逐渐发展自己的数学思维。例如《用字母表示数》，按照教材教参的要求是让学生掌握用字母表示数量、数量关系、计算公式、运算定律等。但学生的数学学习绝不是掌握这样的规定性知识，而是必须重蹈人类代数发展的关键步子。基于此，笔者在设计中关照知识产生之序以及学生认知之序，努力对规定性数学知识进行解压，发展学生的数学思维。

（一）对接学生数学前经验

【教学片段1】

师：同学们，我们生活在一个符号的世界里。课前，老师让大家搜集了生活中的字母符号，谁来说给大家听听。（学生展示搜集的字母符号）

师：刚才，同学们展示了生活中的一些符号如KFC、CCTV等，这些符号只是一种缩写。还有一些同学展示了扑克牌中的J、Q、K、A等，这些符号表示什么？

生：表示11、12、13、1。

师：对了，这时候字母表示的是特定的数。今天，我们就来研究“用字母表示数”，看看字母还可以表示怎样的数？怎样用字母表示数？

学生的数学前经验需要教师的积极唤醒、激活，教学中要立足学生的学习心理，彰显学生数学经验。在经验的唤醒、激活中暴露学生的知识理解，诱发学生的学习期待，引发学生的观念冲突等。

（二）探寻数学知识的本质

【教学片段2】

课件逐次演示摆1个、2个、3个……三角形。

问题1：摆（ ）个三角形需要（ ）根小棒？

问题2：你能用一个式子表示吗？

学生创造出“甲×3”“任意数×3”“n×3”“x×3”……

课件出示：a×3。

师：看来，用字母表示数，不仅可以用一个字母去表示已知数，或是代替一个特定的数，还可以用字母表示一个不断变化的量。那么，这里的a可以是任意数吗？

生1：我觉得不可以，因为这里的a不可以是1.2、1.3等；

师：也就是说，这个a的取值是有范围的。在数学上，我们约定俗成，用26个字母中的前几个表示已知数，用后几个表示未知数。那么，你们能用“6b”编一个故事吗？（学生展开交流并展示自己的故事）

人类的代数发展经历了三个阶段：文辞阶段、符号阶段和结构阶段。教学过程中，要让学生体验符号化的过程，理解符号产生的必然性与合理性。让学生的数学思维穿行在知识的诞生过程中，进而对知识获得本质理解。同时，让学生为抽象的代数式寻找生活原型，同样可以深化学生对知识的本质理解。

【教学片段3】

课件出示冷水壶里有1100毫升果汁，倒入了三个杯子，每个杯子里有x毫升，还剩多少毫升？

师：根据事情的经过，怎样表示还剩的果汁？（学生开始表示）

课件出示问题：

问题一：这里的x是多少呢？

问题二：这里的x可以是任何数吗？

问题三：当x=250毫升时，还剩多少毫升？

数学教学不仅要展现数学知识的前世，更要畅想、预设、铺垫数学知识的后生，要相机渗透、培植数学知识生发、生长的营养基。在这里，通过“问题一”和“问题二”，渗透函数思想，通过“问题三”，渗透方程思想。将学生的数学思维得以提升、延伸，进而实现学生从“算术思维”到“代数思维”的过渡。

三、教学反思：基于学习优化的实践

学生数学学习的优化必须紧紧围绕着学生数学学习的核心素养的培养。基于学生数学核心素养的教学实践应当超越知识取向，体现思维取向。知识取向的教学实践关注学生的知识获得，是“小数学”。思维取向的教学实践关注学生思维的发展和提升，是“大数学”。思维是数学的灵魂，数学是思维的体操。基于数学教学的“思维取向”，笔者在《用字母表示数》的教学中，将教学定位于“一个过程、一段历史、一种思想与文化”，进而以“思维发展和提升”为核心，有效落实数学知识与技能教学、数学活动教学等。通过数学思维，学生超越表层的符号学习，进入数学知识的意义和逻辑层次。在数学思维过程中，学生自然对数学知识进行抽象、概括、推理、建模、想象等。正如苏联数学教育家斯托利亚尔所说，“数学教学是数学思维活动的教学”，是“面向思的事情”（海德格尔语）。在上述《用字母表示数》的课堂教学中，笔者让学生在两个层面实现了思维的穿越、提升：一是实现了学生的生活经验到数学知识学习的穿越与提升；二是在数学知识获得过程中，学生从知识诞生穿越到知识发展，再穿越到知识生发（函数、方程），形成了对于数学知识本体的本质性、结构性把握。不仅如此，在这个过程中，数学知识的鲜活背景、相关的學生生活常识、数学所蕴含的美的因子等都被植入数学教学过程之中，数学教学也由此走向睿智、深刻与广阔。