解决问题之数量关系练习课

王蕾

摘  要：本节练习课是在学习了三位数乘两位数之后，针对本单元出现的两个数量关系而进行的一节练习课。在教学设计时，从“降低计算的难度，学习重点转移到数量关系上;使学生从无意识地应用数量关系到有意识地利用数量关系去分析和解决问题;建构数量关系的数学模型”这几方面进行设计。

关键词：数量关系;建构模型;解决问题

教学内容：人教版第七册第四单元《三位数乘两位数》第55页练习九。

教材分析：人教版新教材实施以来，数量关系这个内容的教学目标有所变化，教材中增加了“在具体情境中了解常见的数量关系，单价×数量=总价，速度×时间=路程，并能解决简单的实际问题”。本节练习课就是围绕前两节新课对已经熟悉的单价、数量和总价，速度、时间和路程等数量关系进一步巩固、概括和提升。

教学目标：

1. 掌握常用数量关系，能在具体情境中运用数量关系解决问题。

2. 通过数量关系在不同情境中的对比，了解数量关系的内在联系。

3. 经历运用数量关系解决问题的过程，体验数学与生活的联系。

教学难点：通过数量关系在不同情境中的对比，了解数量关系的内在联系。

教学过程：

一、数学抽象，构建模型

1. 整体呈现，揭示各自数量关系

师：同学们，这节课我们要用以前学过的知识来解决问题。

课件出示：一个篮球60元，3个篮球多少元？

小明散步每分钟走60米，3分钟走多少米？

师：这两道题讲了什么事情？

师：一个是买东西，一个是散步，两件不同的事情为什么都是用60×3来解决的？

师：这个60×3在第一个题里表示什么？

师：在买东西的问题里隐含着什么數量关系呢？

师：这个60×3在第二个题里又表示什么？

师：在散步的问题里隐含着什么数量关系呢？

【设计意图】本环节呈现买东西和散步两个基本数量关系的简单练习，复习了新授课所学的内容，并促使学生初步感知能用乘法解决的问题，为后面的乘法模型建构做铺垫。

2. 补充用乘法解决的事件

师：在我们的生活中，除了买东西求总价，散步求路程可以用60×3来解决以外，还有什么事情可以用60×3来解决的。同桌之间先说说看。

生1：小王叔叔每小时加工零件60个，3小时可以加工几个零件？

生2：肯德基每小时加工60个汉堡，3小时加工多少个汉堡？

师：这位同学讲了件什么事情，可以用60×3来解决吗？为什么？

师：老师也想到了两个场景，是不是也能用60×3来解决？

课件出示：小红每分钟打字60个，3分钟打字多少个？

小红每分钟打字60个，小丽打的是她的3倍，小丽每分钟打字多少个？

师：这里讲了件什么事情？

师：第一个打字问题里有数量关系吗？

师：第一个打字问题求出的是工作总量，第二个打字问题的算式也是60×3，它求出的也是工作总量吗？

师：同学们想一想，小丽的工作效率和小红的工作效率之间存在什么关系呢？

【设计意图】本环节让学生补充能用乘法解决的事件，促使学生根据上个环节中初步感知到的乘法模型，去寻找能用它来解决的问题，加深对乘法模型建构的感悟。

3. 画图抽象，建立模型

师：刚才我们用60×3这个乘法算式解决了四类不同的乘法问题，现在老师想考考你，请你只画一幅图就能表达这四件事情的意思。

生1：用三个圆表示3个60。

生2：用三个三角形表示3个60。

生3：用线段图表示三个60。

（分别出示三幅学生作品。）

师：看得懂吗？什么意思？三幅图有什么相同和不同？

小结：无论是用圆、三角形，还是线段，只要表示出了3个60，也就表达了这四件事情的意思。

师：老师也画了一幅线段图（如图1），你看得懂吗？请你任选一题，说说这个线段图表示的意思。

生1：我选第二个，1段表示小明散步的速度，3段表示时间，总的表示路程。

生2：我选第一个，1段表示篮球的单价，3段表示数量，总的表示总价。

生3：我选第三个，1段表示工作效率，3段表示工作时间，总的表示工作总量。

小结：刚才我们用一幅图表示出了不同的能用乘法解决的问题，现在请同学们看看，这四个题都能用乘法解决吗？

【设计意图】用常用数量关系解决的最基本的问题就是乘法问题，因此本环节中让学生根据已有的感悟，用画图的方式把常用数量关系慢慢抽象建构成乘法模型。

二、对乘法模型的解释应用

1. 辨析乘法计算的问题

课件出示（独立作业）：

1. 一套书22元，买4套100元够吗？

2. 一个长方形长5厘米，宽3厘米，面积是多少平方厘米？

3. 小丽每分钟跳绳80下，5分钟跳绳几下？

4. 小明4分钟走200米，每分钟走多少米？

（学生独立练习。）

师：能用乘法解决吗？用到了什么数量关系？

师：第四题能用乘法解决吗？

师：同样是走路散步的问题，为什么前面那道题能用乘法而这道题不能呢？

师：求速度、时间用什么数量关系？

小结：今天我们研究了用乘法解决的一些问题，我们首先要判断讲了件什么事情，能不能用乘法解决。现在老师又有些问题，看看可以用什么方法解决。

【设计意图】本环节出示四个简单的练习，让学生在建构乘法模型之后，对模型有一个简单的辨析应用，加深模型在实际情境中的理解。其中，最后一题是基本数量关系的变式应用，为解决相关问题提供一种“模型” [1]。

2. 更复杂的问题（两步）

师：接下来我们就用刚才学到的数量关系来解决问题并做在作业纸上。

课件出示（独立作业）：

1. 小发明家东东制作了一架电动汽车，汽车4分钟可以行驶32米，以这样的速度行驶9分钟，可行驶多少米？

2. 小红和兰兰做纸花，小红每分钟做32朵，小兰每分钟做48朵，两人一起做6小时，可以做多少朵？

3. 明明想用自己的零花钱给希望小学的小朋友买学习用品。这些钱用来买4元/本的练习本可以买60本。

（1）如果用来买3元/块的橡皮，可以买多少块？

（2）小明带了240元钱。

本子4元/本  60本

橡皮3元/块  80块

铅笔3.6元/支  大约（     ）支

反馈要点：

第一题：所求的问题是什么？还缺少什么信息？怎么求出需要的信息？

第二题：①（32+48）×6=480（朵）;②32×6+48×6=480（朵），兩种方法分别是如何思考的？计算得数时，你更喜欢哪种方法？为什么？

第三题：（1）首先要求出什么？为什么？（2）说说估计能买几支。

【设计意图】本环节设计了三个稍复杂（两步）的解决问题，进一步引导学生分析数量关系，多途径引导学生寻找“中间问题”来解决实际问题。最后一题估算，渗透了总价一定，单价越小，数量越多的反比例思想。

课后反思：

数学练习课是以学生独立练习为主要内容的课型，它是新授课的补充和延续。学生通过练习对所学数学知识重复接触和反思，数学练习课已成为学习过程中的重要实践活动。其实，练习课的功能不仅仅是巩固知识、熟练技能，还需要拓展学生的思维，提升其能力。在练习的过程中使学生形成多元的方法策略，深化数学思想方法，建构数学模型，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力 [2]。我们应从以下两方面思考这节练习课的设计：

1. “精”选习题体现层次性

遵循由易到难、由简到繁的认知规律。先呈现基本的、单一的、带有模仿性的习题;然后是巩固技能，把已掌握的新知识纳入已有的知识结构中;最后是发展学生能力，启迪思维，开拓智力，使学生踏着阶梯一步步探索，让每一位学生都能获得不同程度的成功尝试。精心设计练习的关键在于“精”：“精”在习题设计上要突出重点;“精”在围绕知识重点多层次展开练习;“精”在优化解题的策略 [3]。

2. 材料整合体现模型思想

建立数学模型，学生学会的是一类题，而非一道题。本节课贯穿了三句话：讲了件什么事情？隐含着怎样的数量关系？用什么方法？从建构模型的“举三返一”到模型应用的“举一反三”，学生在这个过程中不但完成了解决问题的练习，更是在解决问题的过程中完成了对数量关系建立数学模型的学习任务。要成功地完成数学抽象、建立模型，学生需要大量的体会和丰富的材料作为支撑，由初步感知到深刻体会，这就要求教师设计练习的时候不能操之过急，要顺应学生思维发展的需要，放“慢”脚步，让学生经历初步感知→寻找能用相同方法解决的事件→抽象建立模型→解释应用模型，只有这样“慢”下来，学生才能真正掌握方法 [4]。

参考文献：

[1]  王焱烽. 把握数量关系，凝练比例思想——以一道六下年级“用比例解决问题”错题的教学改进活动为例[J]. 数学教学通讯，2018（13）.

[2]  郑毓信. 用“全局观念指导教学”——由俞正强老师的“种子课”谈开去[J]. 教学月刊小学版（数学），2018（3）.

[3]  劳建妹. 数量关系——低年级学生解决问题的基石[J]. 小学教学参考，2017（8）.

[4]  彭永新. 新课标下对数量关系教学的理性认识[J]. 小学教学研究，2014（7）.