道是“无圆”却“有圆”

张林

[摘  要] 数学教学并不是简单地教会学生做题目，而是让学生能够进行数学思考. 本节复习课，笔者和学生一起探究，通过解题方法的对比，让学生充分感受到辅助圆的独特，感受到圆知识的优越性，拓宽学生的思维角度和方式，激发学生的学习兴趣，有效地提高复习课的效率.

[关键词] 圆;构造;复习课

德国教育家第斯多惠说：“一个坏教师给学生奉献真理，一个好教师则教学生发现真理.”《课程标准（2011版）》指出：在日常教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的与知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标.

数学方法、数学思维方式是解决数学问题的“灵魂”. 学生的问题解决能力不是靠平时练习做出来的，而是在平时的学习过程中，通过教师的引导、知识结构的系统积累、思维的单维向多维转变培养出来的. 优秀学生的头脑中储存了合理、清晰的数学知识结构体系，在解决问题时能快速地将问题与相关知识形成联系，通过选择解题方法优化解题方案. 笔者多年任教初三数学，发现很多学生的数学学习方式比较落后，只会做题目，不善于思考，也不会思考，更不会主动提问，处理问题和灵活应变能力都很薄弱. 如何突破学生学习数学的陈旧方式，真正促使学生在数学问题情境中快速找到解决问题的思路，这是初三数学教师不可避免的急需解决的问题. 在今年的初三中考复习过程中，一道初一的题目触发了笔者的灵感，使笔者对于圆知识的复习有了新的思考.

提出问题

问题：已知线段AB的长为10，点A和点B 到直线l的距离分别为6和4，则符合条件的直线l有______条.

解答？摇 在线段AB两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AB分成6 cm和4 cm两部分. 综上可知，符合条件的直线l有3条，故答案为3.

点评？摇 本题考查点到直线的距离，虽然在初一能通过具体的画图作出3条直线让学生感知问题的答案，但在情况不确定的条件下利用“点到直线的距离”的知识结合分类讨论画出图形进行判断，有一定的难度，而且不方便用数学知识解释. 要揭示本题的深层结构，让学生真正理解本题，需要借助初三的圆知识. 做法：把符合问题条件的直线先转化为到A，B两点的距离为6和4的点，学生会较快地联想出到定点的距离等于定长的图形——圆，然后分别以点A和点B为圆心、6和4为半径画圆，能形象地作出两个外切的不等圆，再联系要求，转化为这两个外切圆的公切线问题解决，不仅直观，也易理解.

展开联想

虽然两圆的公切线在现行的教材中不再呈现，但是本节课的这个问题让笔者有了思考：对于初三的学生来说，进行中考复习一定要定准位置，复习课不仅是数学问题的新课再次堆积，也是知识结构的系统梳理，更是数学问题解决的方法、方式及思维的总结、深化，因此，要真正提高学生解决数学问题的能力，在课堂教学过程中，教师就必须进行数学知识的系统梳理、数学方法的深度提炼，要站到一定的高度指导学生思考和解决问题，努力提升学生的思维能力，改善学生的思维方式，真正让学生在解决问题时能快速地将问题与相关知识形成联系，通过选择解题的方法优化解题方案.

圆是由一条线段绕着一个固定端点旋转一周，另一端点所走路线形成的一个封闭曲线图形，因而与直线型图形有着特殊的联系性. 在处理与圆有关的问题时，学生常常由于圆中的知识点多、细，而感觉害怕，但将直线型问题借助圆的性质来解决，就会变得更为简化，也更易理解. 联想这道初一试题，笔者在复习完圆的基本知识后设计了一节将圆与直线型问题联系起来的复习课，让学生直观地感受表面“无圆”内在“有圆”的直线型问题的深层结构，真正体会到圆知识、性质的优越性，以及在解决直线型问题时的简洁性.

生成课堂

1. 利用圆的定义构造圆，巧解线段长

例1？摇（2011呼和浩特中考）如图1所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为______.

学生解答本题出现困难时，教师可适当引导学生：求线段长的基本方法是放到特殊图形中去，可以是直角三角形，也可以是特殊四边形. 学生思考几分钟后有思路了，通过DC∥AB的条件联想平行四边形，然后转化到直角三角形中求BD的长.

解法1？摇 如图2所示，过点A作AE⊥DB于点E，交CD于点F，连结BF. 易证四边形DABF是平行四边形，从而证明△BAF≌△ABC，则AF=BC=1. 在Rt△ADE中，根据勾股定理，可得DE2=，所以BD=.

解法2？摇 如图3所示，由于AB=AC=AD，即B，C，D三点到点A的距离相等，故B，C，D在以点A为圆心、2为半径的圆上，所要求的线段BD在⊙A中成了弦BD，考虑求弦的方法，而利用DC∥AB延长DA成直径可得到BE=BC=1，AD=AE=2，在Rt△BDE中运用勾股定理可求出BD=.

点评？摇 根据圆的定义（圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合），巧妙将题目条件AB=AC=AD=2转化为B，C，D三点在以点A为圆心、2为半径的圆上，把求直线型图形中的线段长度问题转化为求圆中弦的问题，而大多数学生对于圆中弦的求法掌握较为熟悉，能快速解出问题的结果，使问题变得简单化. 本题的实质意在利用圆的定义构造出圆后，巧解线段长.

2. 利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆，巧解线段最大值

例2？摇 如图4所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是______.

学生结合平时的练习思考了2～3分钟就有某生示意会解答，其具体做法是：取AB的中点E，连结CE，只要O，C，E三点在一条直线上，OE+CE就是OC的最大值，借助角度就可求出点C的坐标，. 问其为什么要取线段AB的中点？这一辅助点又是如何想到的？该生无法作答. 而对于全班学生来说，这却是他们想要知道的.

解法1？摇 本题中的顶点A，B在线段AB长度不变的条件下在坐标轴上运动，它们的运动变化没有一定的规律，但其中点E不论A，B两点怎么运动，它的运动却有一定的规律，即始终在以点O为圆心、AB长的一半为半径的圆上. 本题是解答OC为最大值时点C的坐标，这样点C就是⊙O外一点，要使OC最大，则O，C，E三点要在一条直线上. 在解答时，可根据Rt△BCE求出∠CEB的度数为60°，在等腰三角形BEO中求得∠EOB为30°，求出点C的坐标，.

解法2？摇 在上面解法的启迪下发现：顶点A，B在线段AB长度不变的条件下在坐标轴上运动，它们的运动变化没有一定的规律，而△AOB是直角三角形这一形状却是不变的，故点O始终在以AB为直径的圆上运动（图5），点C在⊙E外，则只需作出AB为直径的⊙E，经过圆心E的直线段OC即为最大值，在△BOC中即可求出点C的坐标为，.

点评？摇 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用圆的定义巧妙地将线段的最值问题转化为圆外与圆上点的最大距离问题，或利用90°的圆周角所对的弦是直径巧妙构造圆，将线段的最值问题转化为与圆相关的最值问题，学生理解起来较为容易. 本题的实质意在利用90°角的圆周角所对的弦是直径巧妙构造圆后，巧求线段的最大值.

3.利用圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的关系构造圆，巧证二倍角

例3？摇 如图6所示，在正方形ABCD内有一点P，满足AP=AB，PB=PC，连结BD，PD.

（1）求证：△APB≌△DPC.

（2）求证：∠PDC=2∠BDP.

（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD（如图7所示），即AD∥BC，且BA=AD=DC，图形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC，试问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.

分析？摇 问题（1）可根据已知条件利用两个三角形全等的判定方法之一“边角边”进行证明;问题（2）可利用正方形的对角线平分内角及等边三角形内角为60°的性质进行证明.

解答  （1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=∠DCB=90°. 因为PB=PC，所以∠PBC=∠PCB. 所以∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP. 又因为AB=DC，PB=PC，所以△APB≌△DPC.

（2） 解法1，因为四边形ABCD是正方形，所以∠BDC=∠BDA= 45°. 因为△APB≌△DPC，所以AP=DP. 又因为AP=AB，所以DP=AP=AD. 所以△APD是等边三角形. 所以∠ADP=60°. 所以∠BDP=∠ADP-∠BDA=15°. 所以∠CDP=∠BDC-∠BDP=30°. 所以∠PDC=2∠BDP.

问题（2）要说明两个角之间的一半关系，除了解法1，还可联想圆中圆周角与圆心角的关系. 要说明两个角之间的一半关系，只要设法将两个角转化为一个圆中的圆周角与圆心角即可.

解法2，如图8所示，以点A为圆心、AB长为半径作⊙A，由（1）得到∠PDC=∠PAB，在⊙A中，利用弧BP所对的圆周角与圆心角的关系得∠BDP=·∠PAB，所以∠BDP=∠PDC.

（3）构造以点A为圆心、AB长为半径的⊙A，类似（1）和（2）的解法即可解决.

点评？摇 根据圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系巧妙构造圆，将角之间的关系转化到圆中同弧所对的角的关系，学生能更形象地理解，比直接在平面直线型图形中通过角的大小度数解决问题更清晰. 本题的实质意在利用圆中同弧或等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系巧妙构造圆后，巧解两个角之间的一半（或2倍）关系的问题.

写在最后

对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决，辅助线的添加就被局限在直线型，但实际上，曲线形辅助线在一些特定条件下更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，圆会让图形的条件更丰富，更容易指向问题的深层结构. 本节复习课，笔者和学生一起探究，通过解题方法的对比，让学生充分感受到了辅助圆的独特，感受到了圆知识的优越性，不仅复习了圆的重要知识性质，还拓宽了学生的思维角度和方式，提升了思维能力，激发了学习兴趣，有效地提高了复习课的效率.

数学教育的最终目的并不是简单地教会学生如何解决课本中的习题，而是让学生在自然社会中能够进行数学思考. 因此，教师在平时的数学教学中，要对教材自然加工，活用教材，灵活构建，渗透数学思想，突出方法策略，培养学生数学思维能力和问题解决能力，帮助学生形成系统的数学知识结构，为学生的终身可持续发展打下“真正具有生命力的基石”.