追踪南通中考命题特点，解析一道习题延伸演变

花永平

[摘  要] 中考是考查初中生数学知识与技能掌握情况的最终测试棒，也是目前高一级学习选拔学生的唯一标准. 在很大程度上，最新中考试题的命题特点，引导着教师的教学方向和策略. 作为一线教师，应深入研究中考命题特点，从本质上明确我们教学的方向性，体现我们的价值性.

[关键词] 直接衍生;借助结论;超出局部;注重运动;举一反三

随着中考改革的不断深入，中考命题趋向从课本题、练习题、历年陈题中将问题进行演变和提升，这一命题的原则符合课标的基本要求：培养学生基本的数学素养.

比如，2014年南通市中考数学试卷一直延续南通市中考试题的基本特点：基础全面，试题稳定. 试题1至26题，立足基础，覆盖全面，学生普遍易上手，得分较高，但也存在陷阱题，如第18题：已知 m-n2=1 求m2+2n2+2m-1 的最小值. 很多同学想到用常规解题方法—配方去完成，但这样做忽视了一个重要条件：n2≥0 ，即将m-n2=1变形为n2=m-1，得m-1≥0，m≥1 的条件下求代数式的取值. 就知识的完备性而言，要求学生不仅要有扎实的功底，而且要有全面考虑问题的能力. 27、28两题，从题目的设置情况来看，难度有了明显的提升，这是今年中考的又一大特点：尾巴翘. 以此来体现考试的选拔功能. 但不管题目如何变化，都摆脱不了数学基本图形、基本方法的应用. 27题由条件垂直就应把它和一线三角联系起来，求长度不外乎两种基本方法：相似和直角三角形等相关的计算. 28题也是老面孔——直角坐标系中抛物线的相关问题. 学生的审题明显存在困难，这是今年试题的第三个特点：条件新. 28题的第二、第三问，需要学生读题、审题后自我生成图形，这对学生的要求更高，更能体现学生学习的自主性和自觉性.

结合中考试题的命题特点，笔者对人教版八年级“全等三角形”习题中的一道习题进行演变，从而提高复习的针对性和有效性，提升学生的整体分析和解题能力，减轻学生的课业负担，切实提升复习效率，帮助学生触类旁通，从而达到举一反三.

原题   如图1所示，在等边三角形ABC 中，D，E 分别是边AC，AB 上的点，且AD=BE，BD，CE 相交于点O，求∠DOC的度数.

解答  易证明△BDA≌CEB（SAS），

所以∠ABD=∠BCE.

又∠DOC=∠DBC+∠BCE （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角度数之和），

∠ABD=∠BCE，

所以∠DOC=∠DBC+∠ABD=∠ABC.

因为△ABC是等边三角形，

所以∠ABC=60°，

所以∠DOC=60°.

直接衍生，以静置动

如图1所示，若D，E 分别是边AC，AB 上的动点，BD，CE 相交于点O，当AD，BE 满足怎样的数量关系时，∠DOC的度数恒为60°？

解析 同上，当AD，BE满足AD=BE时，∠DOC的度数恒为60°.

点评 从两个方面去说明问题：一方面渗透从特殊到一般的解题方法;另一方面，提醒学生从执果索因的角度去分析和解决问题. 而无论是哪个方面，在常态课的教学过程中，这样基础性地直接衍生，能有效地巩固学生已学或者已做过的题目，为后面的延伸拓展打下基础，并从基础环节提升学生多元化分析、考查问题的能力.

借助结论，逐级攀升

（接原题）如图2所示，过点C作CG⊥BD于点G，求证：OC=2OG.

解析 由上例和已知，在直角三角形OGC中，∠DOC=60°，

∠CGO=90°，则∠GCO=30°.

所以OG=OC，即OC=2OG.

点评  学生发现结论后，往往从基本问题、基本图形下手，需要解决的问题就迎刃而解了.

以上两问属于直接变式，是试题改编的常用手法，不改变原题的任何条件，对问题进行必要的添加和商榷，从而训练学生对不同问题的分析和不同知识体系的斟酌，进一步提升学生思维的强度和效度.

超出局部，关注变化

由原题变式1：如图3所示，△ABC是等边三角形，当D，E分别在边CA，AB的延长线上，且AD=BE，DB 的延长线与CE交于点O，求∠DOC的度数.

解析  易证△BDA≌CEB（SAS），

所以∠ABD=∠BCE.

又∠DOC=∠EBO+∠BEC（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角度数之和），

∠ABD=∠EBO=∠BCE，

所以∠DOC=∠BEC+∠BCE=∠ABC.

因为△ABC是等边三角形，

所以∠ABC=60°.

所以∠DOC=60°.

点评  在求解过程中，进一步渗透利用边角关系进行合理转化的思想.

该问的变式已打破学生思维的束缚，将“形内”问题转化到“形外”，对学生的考查不仅仅是数据上的变化，更关注的是用“数形结合”思想解决问题，把不同知识与技能进行合理有效地整合，并进行考查和训练，有效地提升了学生对知识的应用能力，提升了学生的基本数学素养.

注重运动，关注轨迹

由原题继续变式2：如图4所示，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD=BE，BD，CE相交于点O，当点D由点A开始运动到点C的过程中，点O运动的路程是多少？

解析  该题首先要让学生明白点O随着点D由点A开始运动到点C的过程中，形成的轨迹是什么. 其次，求长度. 通过以上解题过程，我们已经明确只要AD=BE，∠DOC的度数恒为60°，即∠BOC=120°. 由固定角度我们联想到圆：同弧所对的圆周角相等，则构建以BC为弦，∠BOC为120°的圆周角，解题步骤清晰明了.

作△OBC的外接圆，如图4可知，当∠BIH=60°时，∠BOC始终为120°，所以，点O的运动路径是以点I为圆心，2为半径的劣弧BC，圆心角为120°. 所以，点O运动的路程是π.

点评  本题的变化直接训练了初中数学中的难点环节，但是这些难点建立在了学生已经熟悉基础环节的基础之上，让学生在知识构建的环节中形成一个循序渐进、由浅入深的思维方式，能有效引导学生解决难题.

举一反三，关注拓展

将原题的背景作变式3：如图5所示，在Rt△ABC中，AC=BC且∠ACB=90°，E，F分别在边BC及AC 延长线上，且CE=CF，BF交AE的延长线于点P.

（1）试判定BF，AE的位置关系，说出你的理由.

（2）点E在BC上运动的过程中，点P运动的路径长是多少？

（分析、解法与上例相当）

（3）拓展：若点Q是AE上的一个动点，已知AC=BC=2且CQ=1，射线AE和射线AF的夹角为α，随着α的变化，点P的运动路径是多少？

解析  （3）在整个运动过程中，角α存在最大值，当CQ⊥AE时，角α有最大值30°;所以点P的运动路径是以AB中点为圆心，AB为直径，60°的圆心角的一段弧. 路径长为π.

点评  这样的拓展和变式能最大限度地提升学生的思维深度和宽度，训练学生的思维敏捷性和分析问题的全面性，无论是基础巩固还是拓展延伸，都能有效地提升学生的智力水平和对知识与技能的应用能力.

与原题相比，变式题已经面目全非了，但是从解题手法、思考路径、形成过程中不难发现，所有的策略和方法是一致的. 通过以上一个习题的演变，笔者认为，中考试题中复杂题、新颖题都是由一些简单的数学小问题叠加变式而成的，而解决问题的方法则大致相通，关键是寻找基本图形，基本数量即线段、角度的关系，从特殊的实例中去发现一般的结论，这正是把握中考命题趋向的关键所在.