浅谈数学模型解题法

陈锋林

[摘  要] 模型解题法就是针对几个基本图形的剖析，在复杂图形中找到简单模型，再利用模型中的结论，套模型出结果，其实质是教学经验的积累与再现，本文就将这种方法拿来与大家一起探讨.

[关键词] 基本图形;模型;应用

近年来，各地的中考试卷越来越重视对图形知识综合应用的能力，尤其是当几何图形与函数图象结合在一起时，学生往往会因为图形过于复杂而产生畏惧心理. 如何消除学生的图形恐惧症，如何让学生在中考中见图就喜，是我这些年一直在思考和努力解决的问题. 经过近三年的题海淘金，我总结了一些小小的经验，我们称之为“初中数学模型解题法”.

什么是模型解题法呢？首先，这不同于数学建模，因为数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式方法表达出来，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法和计算机技术进行求解. 但模型解题是指利用几个直观、简洁的纯数学图形，记住其中的结论，并在复杂图形中抽取出模型，从而快速理出解题思路的一种解题方法.

那如何建立模型呢？其实是数学教师在作业和习题的原型中，找到经常会碰到的相同的图形，将其摘录下来，整理归纳，用自己的数学语言把图形和结论展现给学生，像数学定理一样让学生熟记结论，即见图就能现思路. 所以说，模型解题法最大的好处是快速得到解题思路，化繁为简，但其也有局限性，在填空、选择的题型中可以直接使用，但解答题中还需稍加证明. 以下是部分模型的呈现，拿来与大家一起探讨.

模型一：角平分线夹角模型

模型展示？摇 （1）如图1所示，OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，则∠AOC=90°+∠B.

（2）如图2所示，BP，CP分别是∠ABC，∠ACD的平分线，则∠P=∠A.

（3）如图3所示， AD，CD分别是∠EAC，∠FCA的平分线，则∠D=90°-∠B.

应用及分析  （1）如图4所示，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC和∠BCA的平分线AE，CF交于点O，求证：OE=OF.

（2）如图5所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=____.

分析？摇 （1）若OF，OE能放到两个全等三角形中，即可得证，所以要构造与△AOF，△COE全等的三角形. 利用模型可得出∠AOC=90°+∠B=120°，∠AOF=∠COE=60°，若作∠AOC的平分线OD交AC于点D，则可证△AOD≌△AOF，△COD≌△COE. 于是可得OF=OD=OE.

（2）利用模型中的图2可知，∠BAC=2∠BPC=80°，而∠CAP是∠BAC的邻角，如果过点P作CD，AC，BA的垂线段，垂足分别为E，F，H，根据角平分线性质可得PE=PF=PH，则PA平分∠CAH，所以∠CAP=（180°-80°）÷2=50°.

模型二：角平分线+平行线→等

腰三角形

模型展示？摇 如图6所示，OP是∠MON的平分线，AB∥ON，则OA=AB.

应用及分析？摇  （1）如图7所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，且点E恰好在线段AB上. 若AD=7 cm，BC=8 cm，则AB=_____ cm.

（2）在△ABC中，∠ABC≠∠ACB，BO，CO分别是△ABC的内角或外角平分线，过点O作EF，使EF∥BC，且点E在直线AB上，点F在直线AC上，你能找出线段EF与BE，CF之间的关系吗？

（3）如图8所示，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE，AF，那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.

分析？摇 （1）由模型可知△ADE与△BCE都是等腰三角形，所以AE=AD=7 cm，BE=BC=8 cm. 所以AB=15 cm.

（2）利用模型可得图9和图10中，EF=BE+CF;图11中，EF=BE-CF.

（3）因为MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，所以很容易得出△COE和△COF是等腰三角形，所以OE=OC=OF. 所以当OA也等于这三边时，四边形AECF是矩形.

模型三：函数图象中的三角形

面积模型

在平面直角坐标系中，如果有一个三角形的每一边都不和坐标轴平行，则这个三角形的面积可以用水平宽与铅垂高乘积的一半来求解.

模型展示？摇 如图12所示，过△ABC的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h），我们可得出一种计算三角形面积的新方法——S△ABC=ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

应用及分析？摇  （1）如图13所示，A （4，a），B （-2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=图象的交点，点C是直线AB与y轴的交点，求反比例函数和一次函数的解析式，并求△AOB的面积.

（2）如图14所示，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，在直线CB上方的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

分析？摇 （1）由题可知，易求出两个函数的解析式，则A，B，C三点的坐标可知. 由模型可得，水平宽=A的横坐标-B的横坐标，铅垂高=OC，所以利用公式可求得面积.

（2）由题可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，设存在这样的点P. 因为点P在抛物线上，所以可设P（m，-m2+2m+3）. 又因为直线BC的解析式为y=-x+3，过点P作y轴的平行线交直线CB于点M，则M（m，-m+3），于是△PBC的水平宽=B的横坐标-C的横坐标=3，铅垂高=PM=P的纵坐标-M的纵坐标=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m. 所以S=×3×（-m2+3m）=-m2+m，所以当m=时，存在点P，使△PBC的面积最大， 此时P，.

模型四：四点共圆模型

模型展示？摇 如图15和图16所示，∠C，∠D都是直角，AB是公共的斜边，则A，B，C，D四点共圆.

应用及分析？摇 （2011年浙江绍兴中考）抛物线y=-（x-1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C.

（1）如图17所示，求点A的坐标及线段OC的长.

（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连结BQ.

①若含45°角的直角三角板如图18所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式;

②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.

分析？摇 因为（2）中∠CDE=∠CQE=90°，所以由四点共圆模型可知，以CE为直径画圆，则D，C，Q，E都在该圆上，又同弧所对的圆周角相等，所以∠CQB=∠E，从而确定了直线BQ的斜率，再利用点斜式，直线解析式迎刃而解.

著名科学家钱学森先生说：模型就是通过对问题的现象进行分析，利用我们考虑得来的原理吸收一切主要因素，略去一些不主要因素，所创造出来的一幅图画……模型其实就是一种最简化的图形，在学习中，它由最小的知识模块和操作方法组成. 模型解题是：用最简单的模块对应的规律去解决各种各样的问题. 其实，每一个教师都可以创造出“模型”，同样，每一个学生也可以. 比如去年我的学生自己总结出的模型：当题目中出现两个直角三角形相似时，可以用相等锐角的同一种三角函数来列四条线段成比例，这样就免去了找对应线段的麻烦. 再如，相似三角形中被大家所熟悉的基本模型——A型、X型、M型、母子相似图形，三垂足模型，我们都用得得心应手. 综上所述，只要我们善于思考、勤于发现，“模型”还会有更多，它是教学实践经验的结晶，能抓住题型的本质规律，提炼出若干个简单的解题模型. 通过“抓题型、套模型、出结果”的解题步骤，能实现利用有型的模块，解决千变万化的试题，让解题由难变易，化繁为简.