数形结合，美不胜收

孙赛峰

[摘  要] 数学是一门蕴涵美的学科，数学的美体现在我们生活的各个方面，本文通过初中数形结合思想的培养，论述了数学的简单美、创新美、对称美、辩证美.

[关键词] 初中数学;数形结合;美

数学因为其简单性、对称性、统一性而具有美感.数学的美无处不在，例如城市雕塑，按照几何构造进行设计，比例匀称和谐，给人以美感.数学与美相关，完美的圆，流畅的弧线，稳定的三角，对称的图案……无一不体现出数学的美. 数学评论家普洛克拉斯曾经说过“数学的美无处不在，有数的地方就会有美”. 从这个意义上来说，数学可以称之为一种艺术.

在我们的教学中，每个数学教师过多地关注了数学的严谨而忽略了数学的美感，甚至一些教师令学生只看到了数学的枯燥，而使学生错过了数学上美的风景，导致学生对数学学习的抵触.在数学教学中，教师应该为学生打开数学花园的大门，让学生看到美丽的数学符号，美丽的数学曲线，美丽的数学证明，美丽而神奇的数学方法，美丽的数学理论. 作为数学上重要的数学思想之一——数形结合，正是数学美的体现，教师应该通过数形结合，让学生看见、体味数学的美.

数形结合，数学的简单美

数学以其简单、明快构成了数学上和谐的简单美. 简单性作为数学结构美的基本内容之一，体现在数学的方方面面.

首先，解答数学问题方法的直观性，使数学具有简单美. 例如，讲解数轴（苏教版七年级上2.2）时，数轴是学生最早接触数形结合的数学知识，在数轴教学中，教师要逐步渗透数形结合思想，让学生看到数学中的两个重要方面——“数”与“形”的完美结合. 学生在小学已初步学习了数轴的有关知识，但是仅仅在于正数的表示，因此在初中数学本节教学中，教师只需要把数扩展到有理数范围就行了. 数轴具有直观形象性，在比较有理数的大小时，能简单明了地就可以看出，“在数轴上，右边的数总比左边的大”.同时，也能让学生看到数学上的对应美.

其次，数形结合的利用，也使学生对于问题的理解具有简单美. 在初中数学中，“数与式”一直是教师很头疼的一节，因为学生往往还停留在针对数不断计算的阶段，不能把数和形很好地融合在一起. 针对这种情况，教师更应该在教学中引导学生理解数形结合思想，体会数形结合的简单. 例如，讲解一元一次不等式组（苏教版第七章7.6）时，教师先让学生建立不等式和数轴的联结，出示例题：（1）在数轴上表示不等式：-1≤x≤4;（如图2所示）

（2）不等式组x<3，x≥1的解集在数轴上表示为（？摇    ）

通过这些练习，学生初步明白了不等式组的解集可以通过数轴直接表示出来，未知数的取值范围便一目了然了，这样，学生对于不等式的解集理解和记忆，会更加深刻.

数形结合——数学的创新美

数学的创新美不但体现在数学理论的不断发展上，对于初中生来说也应该体现在解题思路的创新上. 作为教师，在教学中应鼓励学生大胆创新，培养学生的求异思维.学习三角形时，教师可以提问学生“三角形的内角和是多少？”学生一般都知道三角形的内角和为180°，这时，教师可以为学生打开更为宽广的数学思维，告诉学生在非欧几何中，三角形的内角和可以大于180°，也可以小于180°，这在天文学中应用广泛，从而激发学生的创新欲望，也让学生体会数学的创新之美.

函数是数形结合的完美体现，一个函数解析式对应一个函数图象，图象随着函数解析式的变化而变化.在教学中，教师要让学生通过函数图象体会数形结合思想在数学解题中的应用. 例如：某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

（1）求y与y的函数解析式;

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

在这道一次函数应用题中，学生按照惯性思维每一问都通过计算得出答案. 但是，函数图象蕴涵着很多信息，教师应该教会学生通过观察图象，分析获得这些解题信息. 这道题通过观察可以发现，当推销的产品为30件时，两种付费情况一样，并且y付费方式有保底推销费300元. 继续观察可以发现，当推销产品的数量大于30件后，y付费方式中的推销费就小于y中的付费方式.也就是说，在这道题中，除了第一问需要计算外，其他两问通过观察函数图象就可以解决.

在函数中，通过构建函数图象可以使函数问题得到很好的解决. 例如2013年山西省中考题：图4是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB=36 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为______m. 在这道题中，学生只有把题目中的已知条件转化成函数图象才能使这个问题变得简单明朗.如图4所示，建立平面直角坐标系，这样通过求得抛物线的解析式为y=-x2+16，可得出DE的长为48 m.

数形结合——数学的对称美

在数学中，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），二次函数y= ax2+bx+c都可以通过图象产生关联，数学中的某些公式也可以通过图象得以证明，例如证明勾股定理就可以通过图5证明.再如2010年四川达州的中考题：如图6所示，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（    ？摇？摇）

A. （a-b）2=a2-2ab+b2

B. （a+b）2=a2+2ab+b2

C. a2-b2=（a+b）（a-b）

D. a2+ab=a（a+b）

这些都体现了数学中的数形结合之美. 突出体现数学对称美的就是对称图形了，在数学上，有些数字呈对称关系，如数字8，11，22等;等腰三角形、圆、矩形、菱形、等腰梯形等都是对称图形，对这些图形对称性的掌握，可以帮助学生解决有关的数学问题. 例如，如图7所示，点D，E在△ABC的边BC上，AD=AE，AB=AC，证明：BD=EC.

在这道题中，大部分学生会根据全等三角形来证明这个结论，但是利用图形的对称性也可以很好地解决.因为AB=AC，所以三角形ABC为等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的中线（高线），因此可以作等腰三角形ABC底边上的高AH. 又因为AD=AE，因此三角形ADE也是等腰三角形，也同样具有对称性，AH也是等腰三角形ADE底边上的中线，由此可知BH=CH，DH=EH，因此，BD=CE.

在对称图形这一阶段的学习中，教师经常设计一些让学生利用对称图形动手设计符合条件的图案的试题. 例如，学校要建一个圆形花坛，现向全校征集设计稿，要求设计图案由圆和三角形构成（个数不限），设计方案使整个花坛呈轴对称图形，请你画出自己的设计方案. 这种开放性试题，不仅让学生体会了数学中的对称美，也让学生明白数学的美无处不在，数学的美体现在生活的每个角落，学会了数学，也就掌握了数学美的秘密.

数形结合，看见数学的辩证美

数学有自己独特的美，那就是辩证美，这是其他学科所不能比拟的. 各种数学运算，以及数学各部分之间的内在关联，数学通过将这些关联进行转化，充分体现出了数学中严谨的辩证思维，体现了证明过程严谨、严密的逻辑美感. 教师在教学过程中，要通过自己的课堂设计，发掘学生的辩证思维，让学生通过观察、分析，在解决数学问题的过程中，感受数学的辩证美. 数学问题不能像语文一样“眼见为实”，数学相信的是逻辑严谨的证明过程.例如，如图8所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与点A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q.

（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由;

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长.

在这道数学题目中，学生通过观察大部分都能得出CD与⊙O的位置关系为相切，但是仅仅通过观察得出结论是不够的，还要学生进行严谨地证明.

CD与⊙O相切，理由如下：连结OC，如图9所示，因为OC=OB，所以∠2=∠B. 因为DQ=DC，所以∠1=∠Q. 因为QP⊥PB，所以∠BPQ=90°. 所以∠Q+∠B=90°. 所以∠1+∠2=90°. 所以∠DCO=180°-∠1-∠2=90°. 所以OC⊥CD. 而OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线.

数学的证明过程就是享受美的过程，当通过自己的努力，终于把一个结论证明出来，那种惬意就如春天在有着微香的田野慢慢行走，这就是数学辩证美带给人们的美的体验.

数学的美是有内涵的，它不同于花朵的美丽那么直观，也不同于朝霞的美丽那么热烈;数学的美是独特的，就像一个矜持的少女，你只有爱上它才能看见它那美丽的光辉;数学的美是严谨而和谐的，也是千姿百态的，教师要通过数学教学，给学生一双发现美的眼睛，让学生爱上数学.