稳中求变 变中求新

沙志祥

[摘  要] 本文通过分析南通中考试题特点，查找学生错误原因，研究今后的教学对策.

[关键词] 稳定;求新;错因;对策

今年是南通使用老教材的最后一年，中考试题如何命题，才能既适应课改的趋势、实现新老教材的衔接，又能有利于高校选拔，本文以今年中考第28题为例，谈谈笔者对今年中考解答题的认识与体会.

试题再现

（2014年南通中考第28题）如图1所示，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC交于点E，与x轴交于点F.

（1）求线段DE的长;

（2）设过点E的直线与抛物线相交于点M（x，y），N（x，y），判断当x-x为最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由;

（3）设点P为x轴上一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4，求点P的坐标.

试题特点

1.体现南通中考数学稳定为主的特点.

以二次函数为背景，考查学生运用数学知识解题的能力，是近几年南通中考的趋向，所以今年中考的设计让学生从熟悉的二次函数y=-x2+2x+3出发，第一问考查了两点之间的距离、用待定系数法求一次函数解析式及会用配方法或公式法求顶点坐标;第二问与南通去年中考第28题（2）类似，主要考查了根与系数的关系及一次函数中k的几何意义;第三问与前年南通中考第28题（3）类似，基本保持了南通中考试题的稳定性，要求学生处理运动问题时会进行分类讨论，会用三角函数的定义法解题及将复杂图形转化为基本图形求解，让学生经过独立思考，发现柳暗花明又一村的感觉，三个问题既互相独立，又具有层次性，体现了问题设计由浅入深、循序渐进、逐步提高的原则，有利于各层次学生的发挥，在问题的设计上遵循上一个问题不会解答，不影响下一个的思考，重在思维，没有偏、难、怪题，体现数学数形结合的重要性.

2.体现南通中考数学稳中求新的特点.

问题（1）的设计改变了重在考查三元一次方程组的解法，转为直接告知解析式，设计为求过抛物线的顶点平行于y轴直线上两点之间的距离. 第二问充分抓住图形中的特殊点E，通过旋转知道过点E的直线有无数条，这些直线与抛物线相交形成线段，必然有长短，由线段最短时来判断直线与x轴的位置关系，这样就有了创新，既保持了与去年相同考了根与系数关系，又考了二次函数最值的求法、两直线的位置关系. 在2012年南通中考28题（3）的问法的基础上又有一定的创新，将两个角的和等于第三个角改成了等于一个非特殊角，且已知该角的正切，强化了三角函数定义法解题的应用，有利于引领学生思考，寻找解决问题的方法，发现和整理属于自己的解题策略.

典型错误

1. 审题不清匆忙作答.

问题（1）的设计从熟悉的二次函数解析式y=-x2+2x+3出发，求过抛物线的顶点且平行于y轴的直线上的特殊点之间的距离， 但是考试时发现学生由于平时的训练求x轴两点之间的距离较多，因此出现了学生求出AB长等于4，就认为是DE的长，也有人看成了只求顶点的纵坐标，即把求线段DE看成求线段DF的长.

2. 基本知识不牢固.

问题（2）判断直线MN与x轴的位置关系时，不少学生根据要求求出了E的直线MN中k=0，但是却不知道MN与x轴的平行关系，原因是学生对一次函数y=kx+bk≠0的定义印象很深，但是不知道为什么要加k≠0，概念不清，误以为k=0是无解，直线不存在，导致错误.

3. 综合解题能力不强

问题（2）在设过点E的直线时，由于含有字母系数方程，学生的综合计算能力不强，导致错误. 第三问与2012年南通中考第28题的解题方法类似，在原有问题的基础上将两个角的和等于第三个角改成了等于一个非特殊角，且已知该角的正切值，强化了三角函数定义法解题的应用，将在y轴上找一点改成在x轴上找一点，其基本方法都是要先找到一个角等于已知的两个角的和. 由于学生的综合分析和解决问题能力不强，不能将复杂图形转化为基本图形求解，不能将运动问题进行全面分类讨论，导致漏解.

正确解答

（1）解法一：令y=0，得x=-1或x=3，所以A（-1，0），B（3，0），顶点D（1，4），所以DF=4. 设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得直线BC的解析式为y=-x+3. 当x=1时，y=2，所以E（1，2），EF=2. 所以DE=DF-EF=4-2=2.

解法二：因为C（0，3），A（-1，0），B（3，0），所以OB=OC=3. 所以∠CBO=45°. 又 AB=4，所以EF=BF=2. 因为DF=4，所以DE=2.

（2）设过点E（1，2）的直线MN的解析式为y=mx+n，得m+n=2，所以y=mx+2-m.

由y=mx+2-m，y=-x2+2x+3 得x2+（m-2）x-1-m=0，所以x+x=2-m，xx=-1-m.

所以x-x===.

所以当m=0，即y=2时，x-x最小，此时直线MN与x轴平行.

（3）解法一：当点P在对称轴右侧时，设PD交y轴于点N，AD交y轴于点H，过点N作NM⊥AD于点M.

因为A（-1，0），D（1，4），所以直线AD的解析式为y=2x+2.

所以H（0，2）. 所以DH=.

tan∠AHO===tan∠NHD=. 设NM=a，则HM=2a，∠DAO+∠DPO=∠α=∠NDA. 因为tan∠α=4，所以MD=.

因为DH=DM+MH， 所以=2a+. 所以a=. 所以MN=，MH=. 所以HN=. 所以N0，. 所以直线ND的解析式为y=-x+，此时P（19，0）.

根据对称性，还存在另一点P（-17，0）满足条件.

解法二：因为D（1，4），所以tan∠DOF=4=tan∠α. 所以∠DOF=∠α. 因为∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α=∠DAO+∠DPO，所以∠DPO=∠ADO.

若点P在DF右侧，则△ADP∽△AOD，所以AD2=AO·AP. 又AD2=AF2+DF2=20，AO=1，所以AP=20. 所以OP=19，此时P（19，0）.

同理可得，点P在DF左侧时，△OAD∽△ODP，可求出OP=17，此时满足条件的点P的坐标为（-17，0）.

教学反思

1.进一步重视教材教学，抓好基础，提高学生的数学基本技能和对基本思想方法的掌握.

教材对一次函数的定义是：形如y=kx+bk≠0，叫y是x的一次函数，因此在阅卷中就发现有学生求出了k=0，但是学生却不敢给出直线与x轴的位置关系，认为自己做错了，放到一边不再做了，如果我们初三复习的时候强调了k的几何意义，k表示直线的倾斜程度，k=0表示直线与x轴平行，学生就不会不敢作答了. 这道试题给了我们一个在今后的教学中如何理解教材的引领和示范作用，要求我们的学生在新知的学习中不断地质疑，形成知识体系. 因为只有质疑才能真正学到别人学不到的知识. 同时，要求我们在指导初三学生复习时深钻教材，如果只是让学生整天埋头做大量的课外试题，实际上是本末倒置，得不偿失. ？摇？摇

2.进一步抓好基本图形的通解通法，重变形，促进学生能力的提升.

tan∠NHD=，tan∠NDH=4，在解直角三角形的学习中，我们强化了用定义法解题，平时只是指导学生已知一个角是非特殊角的三角函数值，要用定义法解三角形，并没有进一步引导学生思考两个角是非特殊角的三角函数怎么办？思考第三问的实质就是：如图3所示，在△DHN中，DH= ，求HN的长. 平时的学习中这类图形见过不少，只是平时都是已知∠H及∠D是特殊角，求HN的长，没有进一步引导学生，告诉了特殊角，实际上就相当于告诉了角的三角函数值，此时已知了非特殊角的三角函数值与已知特殊角是一样的，都是过第三个角的顶点作高，转化为解两个直角三角形. 这些都要求我们在平时抓基本图形的教学时，注重变式和拓展训练，要真正教会学生化归的方法和解决这类问题的实质，引领学生思考，不断激发和培养学生的数学化思考，引领学生的思维向纵深发展，寻找解决问题的方法，发现和整理属于自己的解题策略，这样，学生才能真正做到以不变应万变.

3. 进一步重过程、防粗心，强反思，理清错因，切实提高学生的学习水平.

第二问中当线段MN最小时，不少学生能抓住过点E的直线有无数条及抛物线的对称性，会猜想到当MN平行于x轴时，MN最小，但是在解含有字母系数的方程时，却发生错误. 还有学生在做第三问的运动问题时，没有分类讨论，导致考虑问题不全面而被扣分，这些问题的出现说明了我们在找到解决问题的方法时，要细心，过好计算关，运动问题一定要将点全程动一遍，确定分点，确保分类讨论的全面性.这就 要求我们在今后的教学中要及时引导学生反思自己的错误，准备一个错题本，对一些易错、易忘的问题随时做好笔记，根据个人的具体情况，查漏补缺，做到知识、解题方法归类，在形成知识结构的基础上加深记忆，对经常错的知识及时进行归类、分析、反思：解该题时哪些步骤容易出错？用了哪些知识和方法？该问题的难点在哪里？在知识、思想方法上我还存在哪些缺陷？我是如何突破的等. 并提醒学生经常翻阅，以此培养学生养成及时发现自己的问题与弱点的能力.