一个经典的数学教学案例

周波涛

[摘 要] 本文从一个现实例子出发，阐述了这样的观点：启发式教育永远是引导学生进行探究学习的不二法宝；应尊重学生的思维方式；为搞清楚原理多花时间，远比为熟练操作多花时间更重要；培养学生遇到问题相信自己可以独立处理的自信心.

[关键词] 二元；一元；启发；引导；尊重

案例

一个小学六年级的学生，假期里遇到这样一个数学问题：解二元一次方程组3x+4y=10，

x+2y=12，他自己想了一会，没有找到解决的办法，然后跑去问他的父亲怎么做，父亲说，做不起就耍一会再做嘛，孩子就做其他事情去了.

第二天，父亲问儿子昨天那个问题做出来了没有，儿子说没有，父亲说，今天你再想一下，可能就做出来了. 儿子就把那个问题拿出来，大概做了半个小时，还是没有做出来，父亲说做了这么久都没有做出来，那就不做了，明天再想.

第三天，儿子跑来给父亲说还是做不出来，父亲说，你把问题拿来我们一起研究一下. 父亲一看，心里就明白了，这个问题属于初一的内容，对于儿子现在的数学基础来说，的确比较难，于是父亲说，二元一次方程组解不出来，这是个问题，那你会解什么方程啊？儿子想了想说，一元方程. 父亲说，那能不能把这个二元的问题弄成你会的呢？儿子又把问题拿回去做.

过了大概半个小时，儿子把他的草稿本拿过来，上面写了很多过程，后来他找到一个办法，就是把第二个式子各项均乘2，得到2x+4y=24，再用第一个式子3x+4y=10来减它，这样y就没有了，只剩下x. 但又出现了一个新问题，10减24不够减，思路就卡在这里了. 父亲说，不够减怎么办呢？儿子说，不知道. 父亲说，我们住的楼平层以下是几楼啊？儿子说负一楼，父亲说，还有负二楼、负三楼，不够减是不是也可以用这种方式啊？儿子想了想，是啊，那这里是不是减了就可以得到负14啊？父亲说，你太聪明啦. 儿子高兴极了，屁颠屁颠地回去继续做. 隔了大概十分钟，就得到了这个问题的解x=-14，

y=13.

父亲说，既然你可以把y消掉，可不可以先把x消掉呢？儿子观察了一下，说把第二个式子的各项均乘3，再去减第一个式子. 父亲说，那你又去做一下，看是不是行得通. 隔了一会，儿子就把第二种方法的过程做出来了. 父亲说，观察一下，这两种方法有没有共同的地方呢？儿子想了之后，基本上说出了加减消元法的核心. 儿子很高兴，说爸爸真厉害，父亲说，我什么厉害哦，我又没给你讲什么. 儿子说，你就是给我讲了我才做出来的. 父亲说，你说我讲了些什么？儿子想了想，好像又没有讲什么，然后又高兴地去玩了.

第四天，父亲写了两个系数与前一个二元一次方程组不同的方程组，儿子解第一个的时候还有些慢，解第二个时就已经很熟练了，而且还找到了解二元一次方程组的另一方法——代入消元法.

又隔了几天，孩子遇到一个应用题，在他想到用x，y设未知数建立二元一次方程组之后，很熟练地得到了问题的求解.

启示

这是一个非常经典的教学案例，案例中的父亲是我的同事，也是一名数学老师，但这个案例中父亲的做法并不全是非要数学工作者才能完成，作为家长、作为教育工作者，都可以参考和学习.

启示一：启发式教育永远是引导学生进行探究学习的不二法宝. 儿子第一个思维难点是如何想到将二元问题转化成一元问题，父亲设置了一个很好的提问“你会解什么方程”，孩子回答之后，父亲又给了一个极具提示作用的问题“能不能把这个二元的问题弄成你会的呢”，这一下孩子基本上就会朝着将未知的没有见过的问题转化成自己会的、熟悉的模型. 这个环节能很好地让孩子体会到转化的思想. 儿子的第二个思维难点，是关于“不够减”的处理. 父亲用了生活中孩子每天都会看见的模型“负楼层”来提示. 小学生对于负数是没有概念的，用这样一个贴近生活的实例来提示，对于负数的概念理解就比较顺利了，这就是类比的推理方式. 而类比推理是我们生活或数学中最常用的推理方式之一. 第三个启发在儿子用两种方式解出方程后，“观察一下，这两种方法有没有共同的地方呢”，引导儿子完成归纳总结. 数学问题千变万化，如果不学会归纳总结，找到同类问题的共性，永远都是“见子打子”，那就太笨了，不仅耗费时间，思维也不会得到升华.

启示二：尊重学生的思维方式. 大多数教师在初次讲二元一次方程组时，一般都会先讲解代入消元法（这也是教材的编写顺序），案例中的方程组较简单的方式也是将第二个方程变形为x=12-2y，然后代入第一个式子得到求解，但孩子并没有想到这种方式. 我分析是孩子更习惯解用x表示未知数的方程，所以先想到消去变量y，进而想到了加减消元法解方程组. 父亲并没有刻意地将儿子的思维往代入消元法上引，而是因势利导，让孩子先学会用加减消元法解二元一次方程组（其实熟练了之后两种方法的运算量差不多）. 这里最重要的是明白消元的思想. 接着，在第四天的时候通过习题让孩子找到代入消元法. 这样的处理方式，尊重了孩子的思维方式，让孩子在思维的过程中始终有主动感、成就感，在思维的过程中体会到了不断深入，以及被肯定感，而这种体验会积极地影响到他今后遇到问题的自信程度. 试想，如果当孩子把草稿本拿给父亲看，父亲立马给他讲了代入消元法，那么孩子得到的心理反馈会是什么？啊，我想了这么久，竟然全白费了，还没有爸爸的这种方法简单，我真笨. 由此带来的挫败感，可能会让他在下一次遇到问题时产生怀疑和不自信，还容易产生依赖思想，因为爸爸知道更简单的方法，自己不用想，可以直接去问他. 失去独立思考的想法，养成依赖别人的习惯，这是最可怕的事情.

启示三：为搞清楚原理多花时间，远比为熟练操作多花时间更重要. 读者可以看到，孩子思维的核心工作是在第三天完成的，据其父亲说，第三天把原理搞清楚差不多花了两个多小时，而第四天的练习大概在半个小时内就完成了，最后应用题中的解方程组仅仅只用了两三分钟. 在学校教育中，同样的内容可能是这样安排的，一节课四十分钟，可能花15到20分钟讲清楚代入消元法的原理，然后开始大量练习，系数同为正数的，有正有负的，系数有分数的，解是整数的，解为分数的等，有的在课堂上，有的出现在作业中，有的在习题评讲中. 练习巩固的时间远远比探寻原理所花的时间多. 这种方式与案例中的教学方式最大的不同在哪里呢？遇到二元一次方程组不会解——将二元问题转化为一元问题——找到二元一次方程组的一般解法，这是有创造性的思维过程，而练习不同类型的二元一次方程组解法，是熟练操作的过程，创造性的活动相对减少. 其实，道理很简单，真正搞清楚原理后，熟练过程会水到渠成，可以减少很多不必要的重复机械工作. 数学应该培养学生什么？是培养学生学会理性地思考，学会理性地分析，而不单是简单的计算. 当然，学校的集体教育不能和这种单个对象的教育完全一样. 课堂集体教育有教学任务，有教学进度的安排，不可能像单独对象教育这样随意，更不用说还有考试压力. 实际教学中，用前面谈到的课堂教育方式，在阶段性考试中可能效果会好一些，但在教学设计上我们可以考虑让创造性思维多一些的环节，多留一些时间. 从长远来看，让学生体验更多的创造性思维过程，会更有利于他们的学习.

启示四：培养学生遇到问题相信自己可以独立处理的自信心，这是教育者应该一直坚持的工作. 读者可以看到，案例中的孩子第一天就碰到问题，并向他父亲求助了，但是他的父亲没有马上回答他. 第二天，父亲仍然没有回答他，而是让他思考，直到第三天才和他展开讨论. 我们有些家长在辅导孩子时，内心比较焦虑，恨不得马上告诉孩子所有的内容，然后立马收到很好的效果，但这并不是一件好事. 人的认知有一个时间过程，同样的东西认知时，需要从陌生到熟悉，从不同的角度去观察，是一个循序渐进的过程. 陈重穆教授提倡的螺旋式教学法就尊重了人的这一认知特点. 一个知识点，第一次教学过程中可能只能掌握一部分内容，随着时间的推移、新知识的增加，他会对这个知识点有更深的认识，在此基础上会有新的认识和升华. 经常听到有的老师抱怨学生，才讲了的都不会，其实这种现象很正常，有可能是学生当时的认知还没有到位，随着时间的推移，我们在合适的时候安排复习巩固，从另外的角度去讲解，说不定学生就能掌握了. 你可能觉得案例中的第一天、第二天是浪费了，其实第一天就可以做第三天的工作，但是，第一天和第二天的工作不是白费的，前两天，父亲的做法很明显，让儿子知道遇到问题要自己思考，思考是自己的事情，也没有强求他一定要思考出来，但一定要去思考，且深入地思考. 在思考中，孩子会对问题更熟悉，尽管没有进行到最核心的地方，但对于问题本身更熟悉了，这有利于今后对同类问题模型的提炼. 而第三天，父亲也没有代替他思考，只是抛出了几个富有启发性的问题，孩子通过思考和演算，找到了将二元问题转化成一元问题，通过思考找到克服负数的办法，通过观察和思考，归纳并总结加减消元法的一般步骤，整个思维过程孩子都是主体. 尤为有趣的是，找到方法后父子的那段对话——“儿子很高兴，说爸爸真厉害，父亲说，我什么厉害哦，我又没给你讲什么. 儿子说，你就是给我讲了我才做出来的. 父亲说，你说我讲了些什么？儿子想了想，好像又没有讲什么”. 这段对话，充分显示了这位父亲的睿智. 他让儿子真实地感受到，问题是通过自己的思考解决的. 当然，儿子对于父亲的引导肯定是知道的，但他清晰地看到了自己的思考在解决问题中的重要作用，这是极其珍贵的学习体验，它可以很好地培养孩子的自信心，让他有勇气去面对新的数学难题，相信自己通过努力可以找到解决问题的办法，而不是遇到问题就想着依赖别人，这才是我们希望孩子们具备的优良学习品质. 当然，一次这样的体验还不能形成这种品质，需要我们随时注意，直至他养成这种优秀的品质. 其实，这个过程能培养孩子的学习动机，增强其学习目的内驱力，让他觉得自己在成长，且从学习中获得知识与能力是很愉快的事情，从而帮助孩子形成健康的人格.

案例是经同事本人口述后，笔者记录整理的，有不妥之处，敬请指正.