算术方法与代数方法漫谈

杨国智

[摘 要] 字母的引入，代数式和方程的出现，是数及其运算的进一步抽象，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法，不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展.

[关键词] 算术方法；代数方法；中小衔接

■ 问题的提出

本学年七年级数学期末检测数学评卷时，遇到了如下一个有趣的问题.

列方程解应用题：小明和小丽住在同一小区. 一天，他们同时出门去上学，小明每分钟走90米，小丽每分钟走60米. 小明到校门口时发现自己忘带了《数学》课本，立即沿原路返回家中去取，行至距校门252米处与小丽相遇. 他们家距学校多远？

某同学是这样解的：相遇时小明比小丽多走了252×2米，这是因为小明比小丽每分钟多走（90-60）米，所以相遇时间是252×2÷（90-60）=16.8分. 他们距学校的距离是60×16.8+252=1260米.

综合算式：252×2÷（90-60）×60+252=1260米.

针对这个问题，评卷老师们提出了两种不同意见：一是题目要求列方程解应用题，所以不列方程解应用题不得分. 二是这个同学用算术方法解这道应用题思路清晰，算法合理，应该适当给分.

我的思考：姑且不说该不该得分，这道题目的数量关系相对复杂，按常规思维难以下手，如果选择方程，则较为简单. 七年级的同学已经再次学习了一元一次方程，为什么会选择较为复杂的算术解法而不选择较为简单的方程呢？

■ 算术方法与代数方法（方程）之

比较

例1？摇 “舒心”水果店新进苹果500千克，比梨子重量的2倍还多40千克. 梨子有多少千克？

算术方法？摇 因为苹果比梨子的2倍还多40千克，假设从苹果中减去40千克，那剩下的重量正好是梨子重量的2倍. “已知一个数的2倍是500-40，求这个数”用除法，所以算式是（500-40）÷2=230（千克）.

方程解法？摇 数量关系是“苹果的重量=梨子的重量×2+40”，设梨子有x千克，根据题意可列出方程2x+40=500.

例2？摇 中国古代数学问题：鸡兔49，100只爪子地上走. 问鸡几只？兔几只？

算术解法？摇 假设49只全部为鸡，则这49只鸡的爪子是98只，而鸡兔爪子共100只，少了2只爪子，这是因为把兔看成了鸡. 每只兔比每只鸡多（4-2）只爪子，2÷2=1，所以兔有1只，鸡有48只.

方程解法一？摇 主要的数量关系是“鸡爪数+兔爪数=100”，设鸡有x只，则兔为（49-x）只. 根据题意可列出方程2x+4×（49-x）=100.

方程解法二？摇 题中的数量关系有“鸡只数+兔只数=49”“鸡爪数+兔爪数=100”，设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组x+y=49，2x+4y=100.

用算术方法和代数方法（方程）解应用题的不同之处：

■

用算术方法和代数方法（方程）解应用题的相同之处：

它们都必须建立在分析题意、找准题目中的数量关系的基础之上，列算术式的依据是四则运算的意义，列方程解应用题的依据也是四则运算的意义.

如果题目中的数量关系较简单，且思维方式是常规思维，则用算术方法较合适. 如果题目中未知量较多，数量关系较复杂，且思维方式是逆向思维，则用方程方法较合适.

例3？摇 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶. 在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过几分钟，货车追上了客车.

分析？摇 本题是行程问题中的追及问题，但三种车辆的速度未知，车与车之间的间隔距离也未知. 涉及的量多，关系复杂，若用算术方法解答困难较大，故建议用代数方法解答. 解题时要注意由题中货车在中、客车在前、小轿车在后，且货车与客车、小轿车之间路程相等，提炼出其中的等量关系. 设货车、客车、小轿车的速度分别是a，b，c，货车与客车、小轿车之间的路程是s，则可得s=10×（c-a），2s=（10+5）×（c-b）. 货车追上客车的时间t=s÷（a-b）-10-5. 这样可以设而不解，巧妙转换求出时间.

■ 中小学数学教学中应注意的

几点

1. 把“符号意识”贯穿数学教学始终. 新修订的《数学课程标准》将“符号感”更名为“符号意识”，更加强调学生主动理解和运用符号的心理倾向. 因为用数进行的所有运算都是个案，而数学要研究一般问题，一般问题需要通过符号来表示、运算和推理，因此，一方面，符号可以像数一样进行运算和推理，另一方面，通过符号运算和推理得到的结论具有一般性. 在教学中，“应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则. 螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求”. 第一学段以数的认识和数的运算为主，第二学段逐步渗入式与方程，第三学段则把重点放在代数式、整式与分式、方程与不等式、函数等相关知识上.

2. 在第二学段的教学中，要加强代数思想的培养. 《数学课程标准》在该学段的要求是“经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程……会用方程表示简单的数量关系，会解简单的方程”. 小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰，在解题过程中可能会出现一些错误，为了顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：

（1）切实理解题意. 通过读题，弄明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条件与未知条件之间是什么关系.

（2）在切实理解题意的基础上，用字母表示（设）题中的未知数. 通常用字母x表示未知数，题目问什么就用x表示什么. 小学数学教材中，用列方程解答的应用题绝大多数都是这样的.

3. 第三学段的教学中要注意代数知识的衔接. 在七年级数学教学中，列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题，它对于培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要的意义. 初学列方程时，学生常常觉得应用题的算术解法已经会了，仍习惯于用算术解法，对用代数方法来分析和解决应用题不适应. 因此，在实际教学中，教师可首先通过选择典型例题分别用算术法和代数法进行分析解答，然后指出两种方法的特点，让学生进行比较，在对比中让学生自己认识到代数解法的优越性. 学生经过一段时间的训练，便可克服由算术法形成的思维定式的影响，逐渐体会到代数解法的优越性，从而促进学生迅速适应并能掌握代数解法，顺利地实现从算术到代数的飞跃.

“代数的抽象、运算与建模”是数学教学的重要内容，也是解决许多数学实际问题的有效工具，尤其是方程模型，体现了数学建模思想. 它既是数学学习的出发点，也是数学学习的落脚点，因此，在数学教学中，要让学生体会“代数”的价值，提高学生学习数学的兴趣，增强他们学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度.