初中数学教学中违背学生认知规律例析

蒲大勇

[摘 要] 初中生学习数学的一般规律是：从具体到抽象，从特殊到一般，从过程到结论，从知觉到空间，从感性到理性，教学应遵循学生的认知规律.

[关键词] 初中数学；认知规律；案例剖析

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律. 认知心理学研究表明，学生认识事物的一般规律是：从具体到抽象，从特殊到一般，从过程到结论，从知觉到空间，从感性到理性，从整体到局部. 教学理应遵循这些规律，然而，初中数学教学中违背这些规律的现象并不鲜见，导致课堂教学价值流失. 笔者把平时课堂观察到的一些实例及改进实践整理出来，以飨读者.

■ 具体与抽象

从思维发展的角度来看，初中生处在半幼稚、半成熟的过渡时期，抽象思维水平仍然较低，处于从直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，其逻辑思维层次仍处在形式逻辑思维阶段，辩证思维还只处在萌芽和初始状态上，因此，初中生对数学知识的理解、判断、推理，在很大程度上仍然离不开直观形象的支撑，呈现知识时应做到从具体到抽象.

案例1？摇 “一元一次方程”概念教学片断——

师：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程. 这个概念有四个关键点需要注意，一是只含一个未知数；二是未知数的次数都是1；三是等式；四是每个式子都是整式.（板书）

师：判断下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？

（1）2x=1；？摇 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？摇 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0； ？摇 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？摇 （10）x=8；

（11）a+8；？摇？摇 ？摇（12）0.75y+8=0.

学生分组讨论后，派代表回答. 多数学生能够找出一元一次方程，但个别学生对（3）（6）（7）（8）（10）等式子感到迷惑.

剖析？摇 教师把抽象的“一元一次方程”概念直接告诉了学生，并越俎代庖地把一元一次方程的本质特征也给抽象了，而学生则“怀揣”老师抽象的“一元一次方程”去对每个“具体”式子进行判断. 通过课堂观察，学生对（3）（6）（7）（8）（10）等式子的判断有障碍，原因是学生对一元一次方程的本质理解不够深刻，而导致这种结果的根源是教师违反了初中生“从具体到抽象”的认知规律，没有让学生通过具体的实例自己抽象、概括出一元一次方程的概念.

改进实践？摇 问题1：观察下列几个式子，它们有什么共同特点？

（1）4x=24；

（2）1700+150x=2450；

（3）0.52x -（1-0.52）x=80.

生1：这三个式子都是等式，都含有字母x.

生2：等号两边都是整式，都只含有一个未知数x，未知数的次数都是1.

生3：等式，等号两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的次数都是1.

……

（师生共同归纳、总结了一元一次方程的概念和本质特征）

问题2：判断下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？

（1）2x=1；？摇 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？摇 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0；？摇 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？摇 （10）x=8；

（11）a+8；？摇？摇 ？摇 （12）0.75y+8=0.

（学生分组讨论、判断）

效果分析？摇 教学中遵循学生“具体—抽象—具体”的认知规律，学生在具体的式子中感知概念的本质属性，通过观察、分析等数学活动，抽象、概括出这个概念，同时把抽象、概括的本质属性应用到多个变式（既有标准变式，也有非标准变式）的具体式子中，有助于学生对一元一次方程的多角度理解，掌握一元一次方程的本质特征.

■ 特殊与一般

辩证唯物主义认为：人们认识事物的顺序总是把特殊的事物作为认识的出发点，认识这些事物的具体属性，然后在此基础上抽象、概括，逐步扩大到认识同类事物一般的、普遍的本质. 初中生同样要遵循“特殊—一般—特殊”的认识规律. 通过特殊去发现一般，揭示一般，以形成规律性的认识，然后，再按照一般去解释特殊，理解特殊.

案例2？摇 “一元二次方程的根与系数的关系”教学片断——

（复习一元二次方程的三种解法后）

师：因为ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两根分别为x■=■，x■=■，所以x■+x■=■+■= -■，x■·x■= ■·■=■.

（接下来，教师用数学文字语言表述了根与系数的关系，学生记忆几遍）

师：关于x的方程x2+px+q=0 （p，q为常数，p2-4q≥0）的两根x■，x■，它们与系数p，q之间有什么关系？

（生机械套用公式，有近30%出错）

师：写出方程2x2-3x+1=0的两根之和与两根之积.

……

剖析？摇 教者先用一元二次方程的一般形式采用“推导证明”的方式得出根与系数的关系，然后，要求学生探究二次项系数是“1”的一元二次方程根与系数的关系（两个均含有字母参数），接下来，用含有具体数字的特殊一元二次方程探究根与系数的关系. 整个教学过程由难到易，由一般到特殊，略去了“实例试验—归纳猜想”的过程，是一种纯理性的“注入”，学生对根与系数的关系理解、接受有困难，效果不尽如人意.

改进实践？摇 活动一：感知根与系数的关系

解下列方程，并填写表格.

■

观察上面的表格，你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？

（学生顺利完成了这个表格）

生1： x■+x■等于一次项系数的相反数；x■·x■等于常数项.

生2：不完整，应该是当一个一元二次方程有根时，才有这个结果.

师：不错，下面继续看活动二.

活动二：探究根与系数的关系

探究1：关于x的方程x2+px+q=0 （p，q为常数，p2-4q≥0）的两根x■，x■，它们与系数p，q之间有什么关系？

（学生快速写出了关系式）

探究2：求出方程3x2-2x-1=0的两根x■，x■，写出x■+x■， x■·x■，并说一说你发现这个一元二次方程的根与系数有什么规律？

（师巡视并给有困难的学生个别辅导）

活动三：推导证明根与系数的关系

关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的两根x■，x■，它们与系数a，b，c之间有什么关系？你能证明你的猜想吗？

（学生说出了猜想，师生共同完成推导证明过程）

效果分析？摇 教学中遵循学生“特殊—一般”的认知规律，整个过程层层递进，从二次项系数为“1”的具体方程计算到字母系数的探究，再到二次项系数不为“1”的具体方程的计算，最后对“一般”方程进行推导证明，从而得出结论. 这不仅符合学生的认知规律，而且有助于加强归纳思想的渗透.

■ 过程与结论

现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，还是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程. 从数学教学的角度看，数学是学习者个人建构的过程，他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考和与他人交流等，去建构对数学的理解.

案例3？摇 “梯形辅助线添加”教学片断——

师：一般地，涉及梯形的计算或证明，往往需要添加辅助线，添加辅助线常常有如下几种情况：（板演）

■

（要求学生把这几种情况画下来，并默记）

剖析？摇 教者把给梯形添加辅助线的几种类型一股脑儿“灌”给学生，不重视辅助线的形成过程，学生对为何作辅助线，在什么情况下作辅助线等基本问题一头雾水，只是通过死记硬背记住结论. 这种教学忽视了得出结论的思想方法和探索过程，学生的学习变成了“记数学结论”，往往“只知其然，而不知其所以然”，阻碍了学生思维和探究能力的提高.

改进实践？摇 探究活动：如图5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，AD=6 cm，BC=10 cm，求CD的长.

■

师：这个题能否直接解答？你们尝试一下.

（生尝试后都认为不能直接解答）

师：多边形的计算或证明，当无法直接计算或证明时，常常需要把这个图形转化成一些基本图形. 那么，梯形该如何转化呢？大家猜一猜.

（学生中有的在本子上画图，有的在讨论，有的在冥思苦想……5分钟后）

生1：过梯形上底的一个端点，作梯形一腰的平行线，可以把梯形转化成一个平行四边形和一个三角形.

生2：我也是把梯形转化成一个平行四边形和一个三角形，不同的是过梯形下底的一个端点，作梯形一腰的平行线.

生3：过梯形上底的两个端点，分别作下底的两条垂线，可以把梯形转化成两个直角三角形和一个矩形.

……

师：同学们可真了不起，想出了这么多种办法，这些办法是否可行呢？下面，选择你喜欢的办法，以刚才汇报的同学为组长进行探究.

（接下来，全班以小组为单位进行计算）

师：归纳总结梯形辅助线的作法. （学生总结归纳了6种梯形辅助线作法）

效果分析？摇 这里的教学让学生经历了“提出猜想—尝试作法—探究验证—整理叙述”的过程，学生在这个过程中独立思考，学会了分析、判断、推理、发现. 学生亲身经历了辅助线的探究过程，在过程中发现、归纳和概括了结论.

■ 知觉与空间

实验表明，儿童的知觉经验和对客体的熟悉因素是空间认知发展的重要条件. 学龄前儿童主要通过画画和搭积木等空间活动形成对图形的初步感知和初步的几何直觉. 初中阶段，学生通过动手操作、观察、想象、交流等活动，获得空间图形的知识和有关技能；通过观察、分析和比较，了解二维图形和三维图形之间的联系，发展空间观念和空间想象能力.

案例4？摇 “平行线”教学片断——

师：两条直线相交有几个交点？相交的两条直线有什么特殊的位置关系？

生：有1个交点，垂直.

师（演示教具）：顺时针转动木条b两圈.

思考：把木条a，b想象成两端可以无限延伸的两条直线，顺时针转动b时，直线b与直线a的交点位置将发生什么变化？在这个过程中，有没有直线a与b不相交的位置？（生交流、讨论）

师：同一平面内，存在一条直线a与直线b不相交的位置，这时直线a与b互相平行. 换言之，同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

剖析？摇 皮亚杰说，空间观念的形成不像拍照，要想建立空间观念，必须有动手做的过程. 上述教学片断，学生在建立“平行线”这个空间观念时，教师仅限于教具演示，未能充分调动学生已有的、丰富的现实原型，未能让学生充分感知生活中的“平行线”，把“平行线”这个空间概念“灌”给了学生，学生对为何要强调“同一平面内”不知其所以然.

改进实践？摇 师（动画演示生活中蕴涵平行现象的图片）：你能从图片中找出共性吗？

生1：都含有平行线.

师：小学我们已经接触过平行线，今天我们将再度学习平行线.

师：教室内，哪些线是平行的？

生2：黑板两边是平行的.

师：（纠正）黑板相对的两边所在的直线是平行线.

生3：窗户相对的两边所在的直线是平行线.

生4：课桌相对的两边所在的直线是平行线.

……

师：假设运动场上的跑道线不平行，会怎样？火车的轨道不平行，又会怎样？

生（齐）：运动员会撞倒一片；火车会脱轨，发生事故；等等.

师：你认为为什么是平行线？能画出草图并表示吗？

生5：不相交的两条直线是平行线.

师：说得有道理！

生6：不正确，前墙面竖直的交线和最后边地面上横的交线不相交，但不是平行线.

师：说得好，观察得真细致！

师：（用牙膏盒引导学生寻找类似位置关系的直线并继续提问）那该怎样定义平行线？

生7：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.

师：挺棒的！

（生8在黑板上画出两条平行线的草图，其他学生在下面完成）

效果分析？摇 这个教学过程让学生充分感知现实生活中的平行现象，特别是此时此景中的平行（黑板、窗户、课桌等相对的两边所在的直线），把空间的、抽象的概念进行简单化、直观化、生活化处理，并借助实物模型，采用简单、直观的形象思维帮助学生建构“平行线”的空间观念.

■ 感性与理性

研究表明，人对事物的认识层次有感性和理性之分. 感性认识是通过对事物直接的感觉而获得，具有形象性、直接性的特点. 在感性认识的基础上，经过思考、分析，加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成了概念、判断、推理，从而过渡到理性认识阶段.

案例5？摇 “单项式与单项式相乘”教学片断——

师：计算：2a·4b.

生1：结果为8ab，办法是运用乘法交换律，将a与4交换，2与4相乘作为结果的系数，a与b相乘.

师：有不相同的吗？（大家没有不同意见）

师：你们会计算下列各题吗？

（1）3a2·2a3= ？摇？摇 ？摇（2）-3m2·2m4=

（3）x2y3·4x3y2= ？摇？摇 （4）2a2b3·3a3=

（小组合作学习，5分钟后，学生板书到黑板上）

师：很好，大家归纳总结了“单×单”的法则.

生（小结）：（1）系数与系数相乘；（2）相同字母相乘；（3）只在一个单项式中出现的字母和指数照搬，作为积的一个因式；（4）结果仍是单项式.

师：好！现在请大家翻开书本第145页，将“单×单”的法则读一遍.

剖析？摇 执教者教学“单×单”的法则时，采用的是“从理性到理性”的方式，先是给出一个简单的式子，让学生尝试计算，在这个过程中感受“单×单”的意义，然后，给出四个较复杂的式子，在计算后概括、归纳出法则，这个过程会导致学生对法则的建构缺乏一定的感性认识基础.

改进实践？摇 活动一：拼一拼

师：用6张长为a、宽为b的长方形硬纸片，拼成一个大长方形，尽可能多地展示不同的拼法.

（小组展示不同的拼法如图6～图9所示）

■

（师就图6提出问题）

师：你能表示出这个长方形的面积吗？

生1： 6ab.

师：你是怎样考虑的？

生1：一个小长方形的面积为ab，6个为6ab.

师：有不同的表示方法吗？

生2：3a·2b.

师：你又是怎样考虑的？

生2：大长方形的长为3a，宽为2b，所以面积为3a·2b.

师：很好，它的面积既可以看成是长为3a、宽为2b的大长方形的面积，又可以看成是6个小长方形的面积和.

师：所以3a·2b=6ab.

（类似地，其余的图形由学生讲解）

师：通过拼图，用两种不同的方法计算图形的面积，我们得到了一些式子，反过来，对于2a·4b，我们能不能通过拼图的方法得到它的结果呢？

（小组成员展示拼图，并汇报）

生3：2a·4b可表示长为2a、宽为4b的长方形的面积，所以我们拼成一个长为2a、宽为4b的长方形（如图10所示），而它的面积又可以表示为8个小长方形的面积和，为8ab，所以2a·4b=8ab.

■

活动二：说一说

师：刚才我们用纸片直观地得出了“单×单”的结果，现在请大家思考——我们能从运算的角度解释这些结果的合理性吗？

师：例如，2a·4b=8ab，你能从运算的角度解释它的正确性吗？

生4：应用乘法交换律，将a与4交换，并将2与4相乘即可.

活动三：试一试

已知一个长方体的底面积为5x2，高为2xy，求这个长方体的体积.

（学生回答，教师示范解题过程）

活动四：做一做

计算下列各式，并写出每步计算的依据.

（1）2a2b·3ab2；（2）4ab2·5b；（3）6x3·（-2x2y）.

活动五：谈一谈

问题：如何进行“单×单”的乘法运算？

（学生归纳、总结出了“单×单”法则）

效果分析？摇 此教学以“拼、说、试、做、谈”五个活动为载体，“拼”，让学生经历了操作、观察、思考、交流等过程，为学生积累了一些感性认识，初步理解了“单×单”的意义，在后面四个环节将“拼”的感性认识上升到理性认识，学生验证了“拼”所得结论的正确性. 整个过程关注了学生从感性认识到理性认识发展规律的应用，真正使教学过程起到了“授之以渔”的作用.

当然，违背学生认知规律的教学可能不止这几种. 教师只有遵循学生的认知发展规律，才能组织好教学，也才能提高课堂教学效率.