数学的对称之美与统一之美及其在中小学数学教学中的应用探析

罗建华

摘  要：在很多人眼里，数学是一门枯燥乏味的课程，如果把美丽和数学相提并论，许多人会持不同意见。数学漂亮吗？数学美吗？这样的问题将接踵而至。事实上，如果能冷静下来，去细细品味那些枯燥公式、烦琐证明之后的本质规律，就能体味到一种独特的美，那是不同于生活中常见美的数学所特有的美：逻辑上的严谨性、结构上的协调性、理论上的抽象性、应用上的广泛性以及其方法之优美与奇特、其形式之间的对称与和谐、其内容的丰富与深刻等等，无不给人以美的感受、美的刺激、美的热爱。美育，又称美感教育，是培养人们认识、发现、体验、欣赏和创造美的能力的一种教育方法，可以促进受教育者获得美的理想、美的品质、美的修养和美的情感。一方面，中小学数学教育是为学生建立一个基本的逻辑体系，另一方面是为了学生做到主动学习、喜爱学习，最后形成终身学习的习惯，这才是中小学数学教育的立足点与支撑点。

关键词：对称美;统一美;数学教学

一、数学中的对称美

（一）创设美的情境，让学生感受数学的对称美

在课堂上用课件放出美丽的轴对称图形，可比干巴巴地讲课生动、形象多了，并且通过多媒体的放映，可以创立一个美的情境，让学生置身于美中，全身心地感受到对称美，在美境中得到成长。比如在学习轴对称这一章时，教师可以这样说：同学们，在这个世界上存在着许多轴对称图形，你们认为它是美的吗？当然是美的，正是因为有了这些美丽的轴对称图形，世界才会变得如此五彩缤纷、丰富多彩！好了，就让走近轴对称图形，去揭开她那神秘的面纱。（动画呈现：有美丽迷人的泰姬陵、庄严肃穆的金字塔、雄伟壮丽的富士山和历史悠久的巴黎圣母院等名胜古迹;有圆、矩形、椭圆、等腰三角形、正五边形等各种图形;还有漂亮的小蜜蜂，可爱的青蛙，美丽的蝴蝶等各种小动物……）随着时间的推移，学生的情绪调动了起来，发出此起彼伏的赞叹声。学生已经完整地感受到了对称图形的美，师：“正因为有了这么多对称与不对称，才让的世界变得如此五彩缤纷、美丽动人。”通过这些美丽的画面，让学生欣赏到对称美，并产生追寻美的渴望。

师：刚才老师展示了那么多的轴对称图形，想必同学们已经对轴对称图形有了深刻的认识，不知道你们能不能画出一幅老师最喜欢的轴对称图形？

經过前面的铺垫，学生基本上理解了轴对称原理，现在进行创作不仅可以锻炼他们的动手能力，还可以进一步巩固加深对知识的理解，教师在下面巡查，也可以查漏补缺。

本节课将要结束时，学生自主创作出来许多作品，如枫叶、彩虹、气球等等。在本节课的作品展示环节，通过学生自己向全班介绍作品，加深了学生对对称的理解，也表现了数学对称美的文化内涵。

（二）探索美的秘密，创立美的等式

探索、发现、创造三部曲不仅是人类的求知过程，也是一种常用的教学手段，例如可以在先在黑板上写出一些对称等式，让学生仔细观察，再提出一个问题，其实答案就隐藏在等式之中，等到学生苦苦探索，最终得到规律答案，并利用规律创造新的等式。多媒体出示：

33×22=22×33  13×62=26×31  14×82=28×41

25×52=25×52  34×86=68×43  46×96=69×64

师：请同学们仔细观察上面的6个等式，你觉得美吗？为什么？你能找出它的规律吗？

前面两问比较容易，学生一下子就答出来了。可是对于最后一问，全班都陷入了沉默，见此情况教师决定给几分钟讨论。学生经过激烈的讨论最终发现了算式的秘密：1、每个算式都关于等号对称;2、两个个位、十位互换的两位数的乘积等于两个原两位数的乘积。

师：刚刚得到了对称等式的特征，你们能不能根据它的规律创造出一些类似的算式？

听到这话，学生们跃跃欲试，不一会儿就创造出很多对称等式，现出示一部分：

35×53=35×53  55×77=77×55  123×642=246×321

12×84=48×21  13×93=39×31  112×422=224×211

数学美育的魅力在于让学生通过探索发现，不断发现对称美的秘密，并依据规律创造出对称美。这样不仅锻炼了学生发现美的能力，还激发了他们探索美的热情。

从回文数中得到启发，巧解等差数列，回文数是指正序读、反着读都是一样的整数，例如：1001、343、78987等。在回文数的整数乘法中，发现了一个有趣的现象：

通过仔细观察发现出规律，并巧算出：回文数在数学算式上的巧妙应用正是反映了对称美，从而引起学生浓厚的兴趣。

对称美是宇宙万物中的一个永恒定律，就像有白就有黑，有阳就有阴一样，现代物理学中有个理论说有正物质就有反物质，假设现实生活中所看到、感受到的一切客观事物都是正物质，那么宇宙中也存在看不见、感受不到的等量的反物质，这样宇宙才均衡，就像一样，说起来有些不可思议，但是在做某些难题时，这种设想却显得巧妙、易懂。如在学习中对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：“（首项+末项）×项数÷2”来教学，可这一公式对于成绩较差学生要掌握和理解有一定困难。

有一道数学题叫作“懒人跑步减肥”，有个180斤的胖子想要减肥，于是他开始跑步，第一天他跑了10公里，后来每天都要比前一天少跑一些，每天少跑的距离是相等的，最后一天只跑了1公里，他一共跑了一个月（30天），问这个胖子一个月总共跑了多少公里？这道题难就难在不知道他每天具体跑了多少公里，也不知道每天比前一天少跑了多少公里，而且每天跑的距离不一定都是整数，唯一知道的是第一天和最后一天跑的距离。但是学过对称，这个题目只要换个角度运用对称的原理就可以巧妙地解答出来了：假设有一个瘦子他想通过跑步锻炼身体，已知他第一天只跑了1公里，以后的每天都比前一天多跑一些距离，每天增加的距离是相等的，最后一天他跑了10公里，总共跑了一个月（30天），与前面的那位胖子的情况正好相反，也就是对称。显知胖子和瘦子一个月跑的距离是完全相等的，并且他们每天增加或减少的距离也是相等的，所以可以算得两人每天一共跑了11公里，那么，一个月一共跑了11×30=330公里，即每人跑了330÷2=165公里。这道题的难点不过是没有直接给出每1天跑的距离，其实完全不必纠结，完全可以利用对称的原理，将这种等差数列求和化为类似回文数的对称求和方式。学会运用对称的思维来理解等差数列求和可比干巴巴地讲求和公式要生动形象多了。

（三）从轴对称图形中发现对称原理的运用

在学习了轴对称图形后，最常见的习题就是画出轴对称图形的另一半。其实轴对称图形为人们研究数学问题提供了某些启示，例如在博弈论中也经常用到对称理论，有一道经典的题目：

一张桌面上摆了一排糖果，共计41个，有两个小朋友比赛看谁能拿到最后的糖果就算赢，游戏规则是每人每次只可以拿一颗，最多拿两颗，但是拿两颗糖果时必须是相邻的，即中间没有其他的糖果，证明：先拿的人一定有办法使对方输。这题表面上看挺难的，以为从排列组合的角度来看，分法太多了，但是如果从对称的角度来看却十分容易。当先拿走了最中间的那一颗（第二十一颗糖果）后，左、右两边都各剩二十颗糖果，只要对方拿一边的糖果，你就拿另一边的糖果，而且位置、个数都和对方对称，只要对方拿多少，你也拿多少，因为是对称的，所以最后一次肯定是你的，因此先拿的人肯定是赢家。如果糖果是40粒，即偶数个时，只要你第一次拿走了中间的两粒，使左、右两边各剩19颗糖果，就能保证必胜。

类似的题目还有：在一张长方形桌上，两个赌徒在用圆形筹码赌博，只不过这次的游戏规则有些另类：两个人轮流在桌子上摆筹码，每人每次只能摆一个筹码，并且两个筹码之间不能重叠，保证每一个筹码不能超过桌面边缘一丝一毫，两个人谁先摆不下筹码就算输。无论他们尝试多少次，总是先摆的甲获胜，这时，乙不禁充满了疑问，这是为什么呢？发现桌子的形状是长方形，因为长方形是中心对称图形，所以利用中心对称性，先摆的甲他只要保证把第一个筹码放在桌面的中心，那么不管乙把筹码摆在哪里，甲总可以把筹码摆在和乙关于桌面中心对称的地方。这样，只要乙有地方摆，那么甲也有地方摆，所以最后输的一定是乙。

无论是“筹码问题”，还是“糖果问题”，解答它们的思维方法都源于轴对称图形的基本特征，教师在教授轴对称图形性质特征时，可以部分引用这方面的知识，加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，使学生乐于学习，发现对称的美，领略到数学的魅力，激发学生发现美、鉴赏美、创造美的能力，并培養学生高尚的审美情趣。

二、数学中的统一美

（一）结论的统一美

一个统一的结论可以揭示自然界的一些秘密，促进人类社会的发展进步，人类的发展史就是一个不断追求统一结论的过程。而作为所有学科的基础，人类发展的基石——数学更是如此，对数学现象的所有分析都形成了无数个统一的结论，然而这只是冰山一角，自然界中还有许多没有发现的结论等着。数学教材中的每一个公式，每一个定理都是一类问题的统一结论，也是最高度的概括与总结。例如，矩形的四个角是直角。除了公式和定理具有统一性外，许多看似毫无关系的问题也能得出统一的结论。

问题1：仔细观察图片，分析图中有多少条线段？

问题2：图中共有多少条小于180度的角？

问题3：小明参加的乒乓球队在贺龙体育馆进行比赛，已知有n支乒乓球队参与乒乓球赛，请问在贺龙体育馆一共进行了多少次比赛？

上面的几个问题，虽然无论从故事背景，还是内容实质都大不相同，可以说是风马牛不相及，但都有一个统一的结论，即由于这种情况在数学中十分常见，所以教师应该格外重视，主动锻炼学生的归纳总结能力，以后碰到此类问题就可以巧妙解答，这就是数学结论统一美的魅力所在。

（二）方法的统一美

数学中有许多常见的方法，它们的应用十分广泛，如消元法、降次法、图像法、代入法等，它们在数学解题中扮演着十分重要的角色。

例如，二元一次方程可以用消元法或代入法解出未知数，一元一次方程组也可以用图像法得出答案。

举个简单的例子，在计算五边形的内角和，可以轻易地想出以下几种方法：

方法1：如图3，连接AD两点，再连接AC两点，可以看到线段AD、AC将五边形ABCDE分成三个三角形，因为一个三角形的内角和是180度，那么五边形的内角和为180×3=540度。

方法2：如图4，在五边形中心任取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，将五边形分成5个三角形，便可以求和，即180×5-360=540度。

方法3：如图5，在五边形的任意一边，假设在AB边上取一点P，P点任取，连接PC、PD、PE，将五边形分成了4个三角形，便可求和，即180×4-180=540度。

观察可知，上述的三种解法，都有两点统一的特征：（1）都是每个顶点跟任意一点连接，这个点可以是顶点，也可以是五边形内部的一点，甚至可以是五边形一边上的任意一点;（2）将求五边形内角和的问题，转化成求几个三角形内角和相加的问题。看到这里，有同学不禁想到如果任意一点是在五边形的外面，那么还能构造出三角形来求五边形的内角和吗？其实是可以的，方法同上面三种解法一样，在此不详细论述。对不同的解题方法进行概括总结，得出统一的结论，有助于学生深刻地理解问题本质，拓展思路，锻炼解题技巧，感受统一美的魅力。

（三）过程的统一美

在学习矩形、平行四边形等数学图形的过程中，学生将经历定义、性质、认识、应用四个环节，学习全等、相似等数学关系的时候也是经历了这四个环节。而在学习一元一次、二元一次等方程的过程都经历了概念、解法、应用的三个阶段。知识点的研究过程可以统一，那么数学的解题过程也有统一美吗？

例：如图6，点A的横坐标为10，纵坐标为0，OA是半圆C的直径，点C为圆心，有一点B沿着半圆周运动，连结OB，连接AB，并延长AB至点D，使DB=AB。过点D作垂直于x轴的直线，交直线OB于点F，交x轴点E，连结CF。

（1）如果测得∠AOB=30°，那么弧AB有多长？

（2）假设DE=8，那么线段EF的长度是多少？

（3）当点B沿着半圆C运动时，求三角形ECF与三角形AOB能否相似。若能的话，试求出点E的坐标;若不能，请给出理由。

解：（1）略。

（2）当交点E在点A，C之间时，如图7，连结OD。因为DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=4。又因FOE与△ADE相似，则EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=3。

当交点E在点O的左侧时，如图8，连结OD。因为DB=AB，OB⊥AD，所以OA=OD=10。又DE=8，所以OE=6，所以AE=16。又因△FOE与△ADE相似，则EF ∶ AE=OE ∶ DE，解得EF=12。

（3）略。

注：发现在解答第二问的时候有两种情况，在这两种情况中的图形差异很大，得出的结论也不一样，但是解题过程却出乎意料的一致。这种解题过程的高度统一在第三问中也存在着，第三题共有六种情况，除了两种情况无解外，其他几种情况的解题过程基本一致，这里就不废话了。

从这道题中可以发现，图形通过平移、旋转等变换改变了位置和形状，但是解题的过程却是高度统一的，从这种统一上，学生可以得到思路的启发，找到快速简捷的解决问题途径，这就是统一美的意义所在。

三、对未来数学教学模式的思考和建议

渗透数学美在数学不仅是教学过程中体现的数学之美无处不在，也刺激了课堂气氛，吸引学生的学习兴趣，使学生形成思维美感。

针对教材里潜藏的美学因素，教师应在课堂教学中揭示出来，让学生自然地认识到数学的美。在如何揭示数学的潜力在教材，教师可以使用发现方法教从审美的角度来看问题，引导学生运用创造思维，拥有获取新知识与审美特征的喜悦，通过必要的实践中获得感悟，再发现新的知识。学生通过这个过程培养了审美直觉能力，提高了实践创造能力。

教师在课堂教学中要注重于引导学生的审美意識，适当地将数学中美的因素呈现出来，让学生体验到数学的美感。

教师可以探索数学美的教科书，培养学生的感受美，欣赏美，让学生可以用美学方法在数学创造美的能力。因此，在教学实践中，学生可以更轻松，更快乐地学习数学知识，掌握数学技能，在自觉的、轻松的、活泼的氛围中成长。

（责任编辑：淳  洁）

参考文献：

[1]荣伟. 数学校本课程开发[D]. 呼和浩特：内蒙古师范大学，2012.

[2]刘鹤翔. 小学数学教学中美育渗透的问题及对策研究[D]. 哈尔滨：哈尔滨师范大学，2017.

[3]杨云. 中心仿射曲面和余二维中心仿射浸入[D]. 沈阳：东北大学，2010.

[4]张水根. 认真挖掘新教材中存在着的数学美[J]. 龙岩师专学报，1998（02）：148-151.

[1]荣伟. 数学校本课程开发[D]. 呼和浩特：内蒙古师范大学，2012.

[2]刘鹤翔. 小学数学教学中美育渗透的问题及对策研究[D]. 哈尔滨：哈尔滨师范大学，2017.

[3]杨云. 中心仿射曲面和余二维中心仿射浸入[D]. 沈阳：东北大学，2010.

[4]张水根. 认真挖掘新教材中存在着的数学美[J]. 龙岩师专学报，1998（02）：148-151.

[5]韩诗贵. 浅议初中数学教学的统一美[J]. 初中数学教与学，2016（06）：15-17.

[6]郭育红，夏立华. 高师应加强数学美教育[J]. 河西学院学报，2002（05）：91-94.