积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用

◎丁建华

(甘肃有色冶金职业技术学院教育系,甘肃 金昌 737100)

一、积分中值定理的几何特征与补充

根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理.

积分中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得

这里要求函数f(x)在[a,b]上连续即可，对函数没有严格要求.进一步地，我们可将f(x)在[a,b]上连续的这一条件更改为f(x)在[a,b]上可积,其结论仍然成立.

图1

图2

本文给出如下两种证明.

证法一：若函数f(x)在闭区间[a,b]上恒为常数,则ξ取(a,b)内任意一点,结论都是成立的.

若f(x)在[a,b]上为一个变量函数,设M,m分别为f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,则存在x0∈(a,b)，使得

m≤f(x0)≤M.

事实上,若这样的x0不存在,则在[a,b]上必存在一点x1,使得f(x)在[a,x1]上恒有

f(x)=m(或f(x)=M),

在[x1,b]上恒有

f(x)=M(或f(x)=m).

这样一来,x1是间断点,与f(x)在区间[a,b]上连续矛盾.

又f(x)在x0连续,则存在δ>0,(x0-δ,x0+δ)⊂[a,b],当|x-x0|<δ时,有

从而

于是

即

又

同理有

于是

同理可得

因此

即

由介值定理,存在ξ∈(a,b),使得

即

其中ξ∈(a,b).

F(a)-F(b)=F′(ξ)(b-a).

于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广.设f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，

即有

但当g(x)在[a,b]只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时,g(x)可以等于零,我们就不能使用上面的结论了.

二、第一、第二积分中值定理的推广及其证明

积分第一中值定理

设函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积不变号,则在[a,b]存在一点ξ,使得

积分第二中值定理

设(ⅰ)g(x)在[a,b]上连续;(ⅱ)f(x)在[a,b]上单调递增且连续;(ⅲ)f(x)≥0,则必有ξ∈[a,b],使得

推论

1.若积分第二中值定理中的递增改为递减,其他条件不变的情况下,则必有ξ∈[a,b]，使得

2.若积分第二中值定理中的f(x)≥0去掉,则必有ξ∈[a,b]，使得

当ξ所在区间[a,b]变为(a,b),其余条件、结论不变,我们就可以将积分中值定理进一步推广.

接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广.

证明由于f(x)在[a,b]上连续.设M为f(x)在[a,b]上的最大值，m为f(x)在[a,b]上的最小值,即有m≤f(x)≤M,又由于g(x)在[a,b]上定号，不妨令g(x)≥0(g(x)≤0的情况同理)，

从而有

mf(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),

即

即

于是得到

利用原积分中值定理，得

与之比较，知矛盾.

证毕！

根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明.

接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果.

其中ξ∈(a,b),从而有

证毕！

三、积分中值定理的应用

例1证明下列积分不等式:

证明(1)由积分中值定理，有

因此有

证毕.

(2)由定积分性质,有

从而

因此

如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立,则需要将例1的证明结果做进一步的讨论.由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论.

这是错误的,因为ξ与n有关.

正确的解法是：

而

因此

证毕！