推导幂函数和指数函数的导数公式

◎樊贤泽

(石门县太平镇中心学校，湖南 石门 415328)

一、证n次幂差公式

指数相同的两幂差，在指数是大于等于2的整数情况下，有下面这个公式——n次幂差公式：

an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1).

当指数是不小于3的奇数时，此情形下的公式验证可以这样做.

如图1所示，令a>b>0，幂差a2k+3-b2k+3可认为是：从一个相邻边长为a2，a2k+1的矩形里截去一个相邻边长为b2，b2k+1的矩形后剩下部分的面积.

图1

则可得等式：

a2k+3-b2k+3=a2k+1(a2-b2)+b2(a2k+1-b2k+1).

不难验证，当k∈Z,k≥0，a，b∈R时，这个等式是成立的.

利用这个等式可得指数为不小于3的奇数的情形下的幂差公式.

将k=0代入等式计算:

a3-b3

=a(a2-b2)+b2(a-b)

=(a-b)(a2+ab+b2).

将k=1代入等式并利用k=0时的结论计算：

a5-b5

=a3(a2-b2)+b2(a3-b3)

=a3(a2-b2)+b2(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)(a4+ab3+a2b2+ab3+b4).

将k=2代入等式并利用k=1时的结论计算：

a7-b7

=a5(a2-b2)+b2(a5-b5)

=a5(a2-b2)++b2(a-b)(a4+a3b+…+ab3+b4)

=(a-b)(a6+a5b+…+ab5+b6).

由此可推知：同指数且指数为奇数(不小于3)的幂差公式如下：

a2k+3-b2k+3=(a-b)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2).

指数是非2n的不小于6的偶数，可用奇指数的n次幂差公式证得偶指数的n次幂差公式.将非2n的不小于6的偶数记作2(2k+3)(k∈Z).

a2(2k+3)-b2(2k+3)

=(a2k+3+b2k+3)(a2k+3-b2k+3)

=(a-b)(a2k+3+b2k+3)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2).

因为a2k+3(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)=a4k+5+a4k+4b+…+a2k+4b2k+1+a2k+3b2k+2，

b2k+3(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)=a2k+2b2k+3+a2k+1b2k+4+…+ab4k+4+b4k+5，

所以a2(2k+3)-b2(2k+3)

=(a-b)(a2k+3+b2k+3)(a2k+2+a2k+1b+…+ab2k+1+b2k+2)

=(a-b)(a4k+5+a4k+4b+…+ab4k+4+b4k+5).

若指数是2k(k≥1)，则n次幂差公式也适用.

a2-b2

=(a-b)(a+b).

a4-b4

=(a2-b2)(a2+b2)

=(a-b)(a+b)(a2+b2)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3).

…

思路同前面所述的一样，用几何图形表示a2k+3+b2k+3(a>b>0)(如图2所示).

图2

构造下面这个等式，用它可证明指数为奇数情形时的n次幂和公式.

a2k+3+b2k+3

=a2(a2k+1+b2k+1)-b2k+1(a2-b2).

将k=0代入等式计算：

a3+b3

=a2(a+b)-b(a2-b2)

=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)(a2-ab+b2).

将k=1代入等式并利用k=0时的结论计算：

a5+b5

=a2(a3+b3)-b3(a2-b2)

=(a+b)(a2(a2-ab+b2)-b3(a-b))

=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4).

将k=2代入等式并利用k=1时的结论计算：

a7+b7

=(a+b)(a6-a5b+a4b2-a3b3+a2b4-ab5+b6).

…

a2k+3+b2k+3

=(a+b)(a2k+2-a2k+1b+a2kb2-…+a2b2k-ab2k+1+b2k+2).

p，q为常量，根据幂函数的图像特征可得：

=p.

=q.

三、推导幂函数的导数公式

对于给定的x(x≠0),

利用此极限，根据导数的定义，可推导出实数范围内的形如f(x)=xu(x≠0,u≠0)的幂函数导数公式.若变量为0，则需另外讨论.过程看似与教材上的一样，但其涉及的极限的导出不同于教材.

f′(x)

=(xu)′

=uxu-1

=uxu-1.

幂函数f(x)=xu(x≠0,u≠0)的导数公式可记为：

f′(x)=(xu)′=uxu-1(u≠0,u∈R).

四、推导指数函数的导数公式

f′(x)

=(ax)′

=axlna.