导数解决双变量问题的研究

◎付贤民 （安徽省安庆市第一中学，安徽 安庆 246000）

运用导数解决双变量问题时，不同的问题情境求解的思路存在较大差别.教师授课中应做好教学规划，结合自身教学经验，认真收集并汇总双变量习题题型，针对不同题型筛选代表性习题，与学生一起分析解题思路，详细地书写解题过程.同时，教师通过教学方法的综合运用以及教学过程中的针对性引导，加深学生印象，使学生把握不同习题题型的特点，在以后的解题中少走弯路，迅速找到正确思路.

一、等价转化后运用导数求解

运用导数解答双变量问题的常用方法为等价转化.为确保转化前后命题的等价性，为顺利解题奠定坚实基础，高中数学教师一方面为学生讲解等价转化的相关思路与方法，尤其通过具体例题的讲解，使其掌握等价转化的常用技巧.如，当学生遇到的习题较为抽象时，可先画出相关草图辅助分析，真正地吃透题意.另一方面，教师为更好地增强学生的听课体验，帮助其把握等价转化的相关细节，迅速找到解题切入点，应注重围绕具体例题在课堂上与学生进行互动.通过互动激活高中数学课堂的同时，教师可引导学生透过现象看本质，确保学生向着正确的方向思考，以达到顺利获取答案的重要目标.课堂上教师可围绕以下习题展开教学.

该习题是存在性问题，并非恒成立问题，解题的关键在于对“（）≥（）”的正确理解.教师可以课堂上提出以下问题，采用一问一答的形式与学生进行互动：（1）怎样理解“对所有的∈［1，2］，存在∈［0，1］使得（）≥（）”.（2）求解最值的方法有哪些？（3）当二次函数的对称轴不确定时，该如何进行处理？课堂上教师应留给学生足够的思考讨论时间，而后提问学生代表，了解其对该题题意的理解程度，并通过列举熟悉的函数，进一步加深学生的认识与理解.实际上，根据等价转化的结论可知，该题只需满足（）≥（）即可，将问题转化为在给定区间求两个函数的最小值问题.

当≤0时，（）＝（0）＝1，显然-5≥1不成立，舍去；

二、代换参数后使用导数求解

运用导数求解双变量问题是另一种比较重要的思路为通过从已知条件中寻求两个参数之间的相等关系，从而有效地将另一参数代换掉，将问题转化为一个参数的问题.众所周知，学生在解决一个参数的问题上积累了相对较多的经验，代换参数后化陌生为熟悉便不难进行作答.但是如何构建两个参数的相等关系，这对学生的综合能力要求较高.高中数学教学中为使学生掌握代换参数的处理方法，避免其在解题中走弯路.一方面，为学生总结代换参数的常用知识，使其在以后遇到类似问题能够迅速地联想到.如方程的两根、函数的零点、函数的极值点等，都可以构建参数的相等关系.另一方面，为给学生留下更为深刻的印象，亲身感受代换参数的具体过程，在头脑中形成清晰的认识，应做好经典例题.教师应认真设计，在课堂上与学生一起剖析解题思路，而后预留空白时间要求学生书写详细的解题步骤，把握变换参数的关键.例如，课堂上与学生一起分析以下习题的思路：

A.5-3ln 2 B.3-4ln 2

C.3-5ln 2 D.5-5ln 2

题干出给出函数的极值点，实际上间接地告知了对应导函数这两个根，即，是（）＝0的两个根.但是如何寻找，的相等关系呢？学生对导函数的表达式进行整理发现两个参数之积为定值，如此便不难将参数，转化为一个参数，结合其取值范围，求（）-（）的最小值.

解题点拨：遇到含有两个极值点的问题应注重通过对函数进行求导将其转化为方程的两个根，运用韦达定理，使用其中一根表示出另一根，从而达到减少参数个数，化陌生为熟悉的目的.当转化成熟悉的问题后，学生便可运用以往的解题经验，灵活运用导数知识求出最终结果.

三、构造函数后使用导数求解

构造函数是运用导数解决双变量问题的常用手段.但是大多数学生只知道构造函数，究竟如何具体问题具体分析，保证构造函数的合理性，使其更好地为解题服务，却抓不住方法.教学实践可更好地增强学生学习的自信心，使学生积累丰富的构造函数经验.一方面，结合学生现有知识储备，从学生熟悉的知识点入手列举相关案例，使其认识到什么是构造函数以及构造函数的必要性，增强其运用构造函数解决问题的意识.另一方面，教师应设计合理的专题教学活动，结合学生的认知以及学习规律，先为学生讲解难度相对较小的例题，而后逐渐加大难度，提高其听课的心理体验，更加有信心地克服难度更大的习题.当然为学生讲解相关例题后，应注重预留专门的时间供学生讨论、总结、整理课堂笔记，掌握适合运用构造方法解题的题型以及常用的构造思路.例如，课堂上教师要求学生认真回顾解决过程，对以下习题的解题方法进行总结：

∵（）＝e，（）＝ln，（）＝（）＝，

解题点拨：遇到求解指数、对数函数双变量问题时，通常运用指数与对数运算法则进行相关的变形，构造出新的函数.运用导数研究新函数单调性，判断出方程根之间的关系，而后通过巧妙代换，减少参数的个数，形成新的函数后再次使用导数知识分析其性质，求出其最值.

四、构建不等关系后使用导数求解

运用导数解答双变量问题的思路并不唯一，既需要根据题干创设的情境进行合理的转化，又需要运用所学构建相等或不等关系.其中当构建不等关系后常用的处理思路有：运用函数性质进行处理，运用基本不等式以及相关变形进行处理.高中数学教师为使学生掌握构建不等式以及运用导数解题的方法，一方面，与学生一起回顾不等式知识，并通过思维导图地运用，将与之相关的知识点串联起来，使学生切实打牢基础，把握运用不等式的相关细节以及所注意的条件，避免以考虑不全面而得出错误的推理结果.另一方面，教师做好相关训练习题的设计，给学生提供亲自动手解题的机会，并要求学生认真审视自身的解题过程，把握解题中的不足，及时加以改正.教师还要鼓励其将习题收录到错题本中，定期进行复习，为以后解题带来提醒.如课堂上围绕以下习题开展训练活动：

五、总结

双变量问题在高中数学中较为常见，相关习题难度较大，常作为压轴题出现在各类测试中.根据以往经验，运用导数解决双变量问题的思路灵活多变，学生不易掌握.为使学生更好地掌握不同习题类型的破题技巧，促进其解答双变量问题能力的提升，教师应做好经典例题的筛选与讲解，尤其鼓励学生做好听课总结，总结用导数解决双变量问题的有效思路.本文通过相关例题的讲解，可得出突破双变量问题的思路有：等价转化、代换参数、构建函数、构建不等关系等.另外，为保证解题的正确性，教师还应牢固掌握各种函数的求导法则，尤其把握解题中的相关细节，即在进行转化的过程中注意相关变量的取值范围，确保其转化前后的一致性.