数学新课标“三会”素养导向下的课堂教学设计——以“数轴”教学为例

时间：2024-05-08

曹岭红 (深圳市光明区玉律学校，广东深圳 518106)

2022年5月，《义务教育数学课程标准(2022年版)》(简称“数学新课标”)发布.数学新课标在目标设定中明确了学科核心素养的导向，提出了数学学科的三大核心素养，即：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界(简称“三会”).在学习理解数学新课标的过程中，笔者将“三会”素养与日常教学设计进行联系、比较，发现“三会”素养导向对学生在数学课堂上的学习深度能够形成直观的比照，能够引导教师进行更有深度的教学设计.本文是笔者尝试以初中数学“数轴”章节的教学为例，提供一种基于“三会”核心素养导向进行数学课堂教学的工作思路.

一、对数学新课标“三会”核心素养的理解

第一，《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养，更加关注数学的抽象属性，要求培养学生从数学抽象的角度来观察和探究世界的认知立场，包含了数量关系、空间形式、数学概念、数学结构以及由此带来的数学审美、数学想象、创新意识等；强调了引导学生充分观察现实世界中基本数量关系与空间形式，进而能够直观理解所学的数学知识及其现实背景；从而在生活实践和其他学科中发现数学内涵、数学联系，甚至引发数学思考.

在笔者看来，我们的数学课堂多年来一直缺乏对“数学眼光”的有效训练.大多数情况下，数学教师忙于对教材知识进行灌输式的教学.学生越是缺乏数学的眼光，就越难以从生活直观上升到数学抽象；越缺乏数学抽象视角，就越难以将数学与现实生活挂钩.而数学学科与生活的脱节又进一步导致学生对数学学科的陌生、误解、畏难.因此，“新课标”将“数学眼光”作为数学学科核心素养的第一项是非常科学而且关键的设定.由此，也就对数学教师联系生活现实以及日常直观进行数学教学的能力提出了更高的要求.这一要求意味着，数学教师本人应该首先是个“数学观察者”，善于从数学的视角看待事物，并善于将自己日常观察的感悟与数学教学相融合，在课堂上通过自己的现身说法，让学生看到生活中的数学世界，形成数学观察的意识和习惯.

第二，“新课标”提出“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养，这是对数学严谨性的关注，更加强调数学的理解，要求教师能够引导学生构建数学思维与现实世界、研究对象之间的关联，能够进行有数学概念参与的逻辑推论，能够应用数学符号、数学形式进行数学化的思维加工与问题解决，同时，在此过程中，让学生获得科学思维方法和严谨精神的训练.

笔者认为，数学课堂并不缺乏对运算以及掌握数学符号的训练，但大多数教师在学生的数学推理能力方面没有提供充分训练.多数教师缺乏在数学规律与现实现象之间，在数学基本概念和数学法则之间搭建桥梁的有效方法，难以真正帮助学生掌握应用数学逻辑解释或论证现实问题的能力，因而也就难以真正引领学生在日产生活中发现数学、应用数学、用数学的条理与逻辑讲道理的意识与习惯.

第三，“新课标”提出“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养，这是对数学广泛性的关注，更加强调数学的应用，表现出“新课标”以育人为导向的核心理念，是真正实现数学融入生活，数学为学生所用的关键一环.数学表达是学生应用数学解决现实问题的关键能力，人们通过数学语言，方可简约且精确地描述现实、传递科学知识与经验、分析数据与证据、预测未来与偶然.

笔者在长期的数学教学工作中，对这一素养高度关注，并有意识地在教学中对此加以落实.笔者认为，从生活语言转换到数学语言，这不是自然而然的结果，而是长期接受专门化训练才能达成的意识和行为.正如“新课标”对数学语言的表述——“数据意识或数据观念、模型意识或模型观念”，数据与模型都是经过人的理解、归纳、概括之后所形成的要素.训练数学应用，关键在于坚持训练学生贯通数学的“理解—归纳—概括—解决”全过程，让学生经历用数学语言表达现实世界的体验，感悟数学的表达与交流方式；能够有意识地运用数学语言表达现实问题与学科问题，由此形成对数学语言简洁与优美的欣赏与亲近，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力.当然，这个过程在传统的数学课堂教学中是最为缺乏的，其根本原因一方面在于教师的意识，更重要的是在于课时的制约，导致教学设计难以达成全程的贯通，抵达学生的完整应用经验.

二、“三会”素养有利于加深数学课堂学习深度

杭州师范大学教育科学研究院张华院长在2020年12月14日第四届学习共同体全国教育峰会(SSLC 2020)的发言中提出“深度学习是和核心素养并提的……因为只有通过深度学习才能发展核心素养”.这句话阐述了学科核心素养与学生深度学习之间的关系.

在传统课堂上，教师将“学科事实”原封不动地传递给学生，然后学生谦卑地予以接收.这种“事实本位”的知识观导致学生获得的是“惰性知识”，学生只是知道了“事实”，但未必理解了“道理”，因而很难融会贯通、活学活用.课堂学习要想达到一定的深度，要求从“事实本位”走向“理解本位”，追求对知识理解而不仅仅是对事实的了解，这就要求课堂教学为学生提供完整的深度学习历程.数学新课标对“理解”这个动词提供了标准解读，即：描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.透过新课标对“理解”的定义，可以得见：学生在数学课堂抵达深度学习的重要表征就是学生能够对学习对象进行描述、阐述，而这个要求与“三会”中的“会用数学语言表达现实世界”不谋而合.

从学习发生的机制来看，“三会”素养之间存在递进关系：观察—思考—表达，遵循信息的采集、加工、输出的工作链条.从这个角度看，“三会”素养导向能够有效地引导学生在课堂学习中抵达“应用数学语言进行表达”的学习深度.

东北师范大学史宁中教授在解读数学新课标的讲话中提出：数学学习过程从抽象的深度来看，大体上分为三个阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段.简约阶段是指把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达的阶段;符号阶段是指去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表达包括已经简化了的事物在内的一类事物;普适阶段是指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，能够在一般意义上解释具体事物.从史宁中教授所描述的三个阶段可以看出数学学习深度的递进.这三个阶段与“三会”素养之间也是一一对应的.

三、基于“三会”素养导向的数学教学设计

笔者在数学课堂教学中长期推行“深度学习”，强调课堂学习的“可理解性”，积累了一些与“三会”素养要求不谋而合的教学设计，下面以“数轴”一课为例对“三会”素养导向下的教学设计做简要介绍.

(一)充分感知，领悟共性特征

数轴的生活模型非常丰富，但它们的表象差异明显：有的已完全显现出数轴的要素特征，有的只是部分显现出数轴的要素特征，还有的则需要进一步数学化才能显现出数轴的要素特征.这种表象各异的数轴生活模型，只要感知充分，学生就能领悟到它们的共性特征，即数轴的要素特征.并且，数轴生活模型越丰富，感知越充分，对数轴要素特征的理解就会越深刻.根据数轴生活模型特征和学生的认知特征，可以分两步引导学生感知数轴生活模型.

1.具备全要素数轴生活模型的感知

“温度计”是学生最熟悉的最具备数轴全要素特征的数轴生活模型，因此，很多教材都是以温度计作为引入数轴的生活模型，它的设计具有如下特征：一条直的线、有均匀分布的刻度、有表示零上的温度(正数)，有表示零下的温度(负数)、有表示零摄氏度的温度(0)、有从小到大的数据排列特征等，这些特征正好是数轴的特征.因此，课堂上，应该引导学生充分感知温度计的设计特征，以帮助学生完成从生活模型到数轴的首次抽象.

2.构建全要素数轴生活模型的感知

学生完成了数轴的首次抽象后，就会具备两种能力：寻找数轴生活模型的能力和构建数轴要素特征的能力.因此，此阶段的教学是引导学生尽可能多地寻找数轴在生活中的模型，它不仅包括类似于温度计的全要素数轴生活模型，还包括那些没有完全显现出数轴要素特征的生活模型，如标有刻度的直尺、处于一条直线上均匀分布的路灯等.然后对没有完全显现出数轴要素特征的生活模型进行构建，使其符合数轴的全要素特征，比如在标有刻度的直尺上设置原点、正方向等.学生寻找数轴生活模型的过程是对数轴首次抽象结果确认的过程，学生构建数轴全要素特征的过程是对数轴要素特征再理解的过程.

(二)语言表达，抽象数轴形式

数学学习实质上是数学的思维活动，其中，数学语言是数学思维活动的载体，因此，可以说学习数学就是学习数学语言，数学语言包括抽象性语言和直观性语言，表现形式包括图形语言、符号语言和文字语言等.将生活场景语言化是高级思维的表现，也是学生形成抽象思维的过程，将数轴生活模型共性特征数学语言化，就是数轴抽象的过程，其语言形式是数轴的表达形式.

根据认知规律，学生的思维发展路径通常具有先直观后抽象的特征，而图形语言具有典型的数学直观属性，因此，数轴的语言化学习往往从图形语言表达开始，对于数轴而言，就是将数轴生活模型的共性特征以图形语言的形式进行表述.如：

学生将数轴生活模型进行数轴图形表达很可能不准确，但这是学生图形表达能力方面的学情显现，是学生体验数轴形成、理解数轴含义和进行抽象能力培养的宝贵素材，因此，学生进行图形表达是教学所必需，对图形表达的学情素材进行加工和完善亦是图形表达教学环节的重要内容.

这种不准确有两个层次内容：第一个层次是共性特征的图形表达不准确，第二个层次是数轴图形表达不准确.其中，共性特征的图形表达不准确源自学生对所感知的共性特征和图形表达没有建立起准确的对应关系.因此，通过图形和感知内容的一一比对就可以找出问题，以此完善图形表达和提升学生进行图形表达的能力.如将学生自己的图形表达与第一阶段感知的共性特征进行对比，可以发现部分图形不符合要求，比如，图6上的刻度不均匀，图3不能表示出所有有理数.数轴图形表达不准确源自生活模型共性特征的图形表达仅仅强调共性特征的图形表达，而不一定是真正意义上的数轴图形表达.因此，需要从数轴属性出发，将生活模型共性特征的图形表达完善成为数轴图形表达.如从数轴的工具属性进行理解，学生容易明白需要对图形做一些规定：直线上从左到右或从下到上表示的数是依次增大的，并且在直线上用“→”表示较大数的方向，从而形成数轴图形表达的准确形式.

一般情况下，学生会对图9持有不同意见，此时，可以让学生进行相互辨析，通过辨析理解数轴本质，体验数轴运用时的合适性特征.

直观的图形语言是数轴的图形表达形式，数学思维活动是一种交流活动，更为抽象的符号或文字语言是进行数学交流的最便捷工具，也是进行数学抽象思考的最合适语言形式，因此，将图形语言转换为符号或文字语言是进一步进行数学抽象的必经过程.如标识“→”的方向叫正方向，标识正负数分界线的点叫原点，用“0”表示，这个均匀分布的刻度叫单位长度，具备这些所有要素的直线叫数轴等.

(三)场景运用，感悟数形结合思想

学生因感受到学习的价值而乐此不疲，且越学越勇，数轴学习的价值既体现在数轴形成的过程中，还体现在数轴的各种场景运用中，学生通过数轴解决一系列数学问题，还能深度理解数轴本身，更能感悟数轴知识所蕴含的数学思想——数形结合的数学思想.

1.利用数轴理解数学概念，感悟数形结合思想

学生掌握数轴后，为相反数和绝对值等数学概念的学习提供了图形理解途径，如图10所示，a，b互为相反数，通过图形观察，很容易获得如下结论：

(1)a，b两数符号相反；

(2)a，b两数在数轴上到原点的距离相等；

(3)a，b两数在数轴上的点关于原点对称.

根据以上结论，可以水到渠成地获得如下概念内涵：

由(1)和(2)可以得出相反数的内涵；由(2)可以引出绝对值的概念；由相反数的内涵和绝对值的概念，又可以进一步规范相反数的概念(符号不同，绝对值相等的两数互为相反数)等.

2.利用数轴上理解文字语言，感悟数形结合思想

文字语言表述的数学问题，抽象且不直观，对理解和解决问题造成障碍，如果将其表示在数轴上，结果就一目了然.如学校前面有一条东西走向的笔直绿道，小颖周末从校门口出发在绿道上散步，她先向东走了300步，再向西走了500步，又向东走了600步，再继续往东走了200步，然后向西走了400步，此时，小颖是否在校门口位置？如果不在，怎样走可以再回到校门口？

在阅读这段数学问题的表述时，一东一西的很容易导致思绪混乱，如果将其转换成数轴图形就很容易理解，即将此场景构建成以校门口为原点、向东为正方向、单位长度为100步的数轴，然后采用动点的方式，问题就很容易获得解决.

3.利用数轴理解数学表达式，感悟数形结合思想

数学表达式也是高度抽象的产物，有些以表达式呈现的数学问题使用代数方法很难入手，如果将其转换成图形问题，即数轴问题，就很容易获得解决.

如求代数式|x-2|+|x+3|的最小值.将这个数学问题按照如图11所示表示在数轴上，其中，点A表示-3，点B表示2，点P为数轴上任意点，用x表示.我们知道两数差的绝对值在数轴上对应为这两个数在数轴上对应两点的距离，因此，|x-2|+|x+3|=AP+PB.从图形可知，当点P在线段AB上时，AP与PB的和最小，最小值为AP+PB=AB.

将这些数学问题设置在数轴上进行思考，问题分析变得直观，问题解答变得易懂，这就是数轴的价值，这样的方法就是数形结合思想的运用.数轴在运用场景中的价值显现，是学生对数轴的理解，更是对数形结合的数学思想的理解与感悟.