数学教育中数学史的渗透研究

吴 谦 (大同师范高等专科学校，山西 大同 037039)

早在20世纪70年代，数学史与数学教育之间的关系(HPM)就已成为数学教育的一个学术研究领域，2005年首届全国数学史与数学教育研讨会在西北大学召开，HPM开始进入我国数学史研究者和数学教育工作者的视野[1].数学史在数学教育中的渗透逐渐大面积地推开.数学是一门通过“数学的眼光”观察世界，解释世界各类现象的学科，它兼具了技术性和抽象性特征，其中包含了一套，甚至多套具有鲜明特征的符号体系.因而数学学习者一方面应注重思维层面的逻辑训练；另一方面也需要借助数学原理的发现者和数学理论的创造者之人生经历和生活现实，发掘造就伟大数学家的那些综合素质，进而为自身的数学研习之路积累经验，并将此类经验转换成数学探索道路上的内在质素.下面从价值评估角度，对数学史的价值内涵进行初步解析.

一、数学史的价值内涵解析

我们为什么要学习数学史？学习数学史的目的并不是为了在数学教学的课堂上必须机械地使用数学史，而是通过数学历史的发展来把握数学知识的来龙去脉，清楚历史上一个数学概念怎么产生，又为什么产生，一个定理为了解决什么问题，从历史中寻找定义定理产生的根源，知道数学中的定义和定理是如何创造出来的.“问题是驱动一切科学产生与发展的原动力”“问题是一切科学的心脏，它也应该成为数学课堂教学的心脏”.学习数学史的根本目的不是为了把数学史知识机械地搬进数学课堂教学之中，也不是为了按照数学中某个知识的历史发展进程来教学，而是通过数学发展的历史找到促使数学概念、定理产生的问题，结合学生的生活经验与已有的数学积累创设合适的情境，然后将找到的问题嵌入该情境中形成问题情境[2].如果我们要严格地按照数学发展的历史来机械地进行数学教学，那么数学中很多知识讲解起来会变得非常的别扭.例如，我们知道定积分从历史上讲，其出现早于导数，我们现在绝大多数的数学教科书先介绍导数，之后再介绍定积分.数学教科书课程的内容安排，不能机械地完全按照数学历史发生的先后次序进行，要考虑到数学学科知识严密的逻辑体系.否则会造成讲解和理解上的理论不严密、结构不合理.例如，如果按照发明时间的先后次序，先学习定积分再学习导数，那么数学中的微积分内容又要回到阿基米德的时代.

任何一门学科的研习都会产生价值，并且通过持续性应用，获得多重意义，数学也不例外.在现代数学学科的教育教学工作中，通过对数学史的价值研究与评估，产生了诸多新的认识.一方面，在传统的理解范畴内，明确了数学史具有中立性导向的“工具理性”，即通过数学史的研习，可以提高数学理论发现、发展、研究、设计方面的水平，其重点集中于对数学史发展过程中的逻辑线索的挖掘.另一方面，在现代科学的“透镜”之下，分解出了数学的多重社会人文价值，并将其归结到了“价值理性”，其重点集中于从数学家的人格构建角度，通过研习数学史中的数学家，与数学家人格构成因素，使研习者可以分享到数学家的“人格魅力”，这种魅力指向于“人性的伟大闪光点”方面，相当于今天所说的“社会化人格”或“科学家人格”.因此，通过在数学教育中渗透数学史，有利于学生的“脑力”和“心力”获得双重培育.

(一)数学史的“工具理性”

数学的本质很简单，即认为万事万物都可以通过“数量”加以衡量，并且借助这种衡量，提高对其认知、理解、运用的精准性.简单讲，“数学之尺”缩短了人与物之间的距离.作为一门具有工具特性的学科，数学史的演进过程，实质上就等同于“数学共和国”里的各位数学家进行的一场“逻辑比赛”.比如，从毕达哥拉斯开始将“数”理解为万物的本质，直到欧几里得运用“公理”“定义”“证明”等演绎出一套系统性的数学体系，数学的“工具理性”从此获得了明确规定，并在这种限定条件下，将其作为工具，促进了各门学科的发展，从而生成了“现代科学”.杨振宁教授在他的演讲集中，也揭示了这种基于数学史的“欧几里得意义”.

(二)数学史的“价值理性”

数学史是关于数学学科演进的历史，因而它首先包含了数学价值和历史价值，从作为价值本质属性的功能分析，可以认识到数学史的数学价值，在于其中的“逻辑成分”，通过逻辑的训练、逻辑体系的建构与解析，以及逻辑关系的分合解读，研习数学史者，可以从中发掘到一种贯穿于“现代科学”的“数学价值表”，比如，从毕达哥拉斯到欧几里得，再从欧几里得到哥白尼，再从哥白尼到伽利略，再从伽利略到牛顿，再从牛顿到爱因斯坦等，从根本上就说明了数学史的数学价值的重要意义.另一方面，从历史价值方面分析，数学史的形成并非一日之功，而是经历了对每一个公式的证明，对每一个方程的无数次演算，对于每一个数学意义的揭示才实现的.因此，从数学史的历史价值方面看，只有融入数学史之中，理解到数学史之中的数学家之“人格魅力”，才能全面地将数学家和数学学科关联起来，形成全面的“数学价值观”和“数学人生观”.

二、数学教育中数学史的渗透措施分析

现代数学史和数学教育的研究成果，均表明了在数学教学中渗透数学史的功能、意义，并由此理解了其价值内涵.由于这种价值内涵集中体现在“基于数学理论创建的逻辑渗透”和“基于数学家人格构建的品格渗透”两个主要方面，因此下面就以此为准对其进行分析.

(一)基于数学理论创建的逻辑渗透

数学教育中对于数学史的渗透，首先需要抓取数学史中的“工具理性”和“数学价值”，这样，才能使数学教育中的数学渗透选择一个宏观的视角，将数学史的渗透建立在“思维层级”的训练与提升高度.具体而言，就是要理解数学史中的数学理论创建属于一种高水平的思维活动，而这种思维活动的实质是通过逻辑思辨加以实现，其中包括了从特殊到抽象的归纳方法，以及由普遍原理向特殊公式推导的演绎方法.再进一步，需要将这种逻辑训练，具体拆解成为一个完整的观念体系，进而透过观念体系中的主要观念、次要观念、附加观念等，以逐渐规定的方式，使学生理解数学史在伟大发展进程中，是如何完成其观念的组合与应用，以及基于观念的各类逻辑向具体符合体系的转变等.因此，在基于数学理论创建的逻辑渗透实践中，实际上要求突出数学教育中的“教师主体”，通过教师对数学史的研究与体会，将数学史中的理论创建过程拆解开来，并将其以观念的形式向学生进行阐释，运用逻辑思辨与逻辑论证的方式，为学生提供一种数学理论的研究与探索思路.

(二)基于数学家人格构建的品格渗透

与基于数学理论创建的逻辑渗透相比，基于数学家人格构建的品格渗透，则需要将重点集中到数学史中的“理论创建主体”，以实际的数学家人生与数学家发明的成就(如对某公式的证明，对某理论的创建，对某事件的数学化阐释等)为准，从数学史的“历史价值”视角，为学生演绎出“数学共和国”里的各位“数学天才”是如何通过已有的事实一步步地探索、观察、比较、分析、联想、类比，再进行归纳猜想，形成推理认识，通过这样的方式，建立了与数学学科之间的关系等.数学史自然科学中的重要基础，并且在社会科学中也有着很重要的作用.简单讲，需要将数学家的人格和数学家的生活，以及数学家的作品关联起来，注重数学文化在不同学科中的渗透，强调数学与生活以及其他自然科学和社会科学的联系，运用“历史透镜”重新解读数学家的人生历程.由于这种渗透存在着一种“当前主体”与“历史客体”之间的“主客互动”关系.因此，在基于数学家人格构建的品格渗透方面，应该突出数学教育中的“学生主体”，教师在此渗透路径下，仅需要通过自身的体会与研习成果，以及领悟到的“人格魅力”，将其以简化的形式，告知学生、牵引学生，使其通过自身的探索去建立与其具有“人格共性”的数学者的品格.

三、数学教育中数学史的课堂渗透

在实际教学中，数学史的相关知识逐渐渗透到我们的课堂之中.数学史融入数学课堂，可以加深学生对数学概念和原理的理解，揭示数学概念和原理的本质，增强和激发学生学习数学的兴趣，欣赏数学之美.对教师而言，数学史融入数学教学课堂，可以大大地丰富教师的数学教学素材，改进数学教学的思想和方法.建立在教育实践基础上的数学史融入数学教学课堂，往往更能引起学生学习数学的学习动力，并能激发学生学习数学的主观能动性，相关的数学史知识更能激发学生学习数学的热情，并且能引发学生学习数学知识的思考.从小学开始，数学史知识融入课堂的形式可以通过讲故事的形式进入课堂，比如讲小学一年级上册第1课“数一数”(义务教育教科书·数学·一年级上册，教育部2012年审定，江苏教育出版社2012年6月第1版)的时候，从第一节课就可以引入“结绳计数”或者是“堆石计数”的数学史故事融入.在初中数学教学中，可以逐渐多引入数学家的故事和一些数学史上的经典题目，并且尽可能多介绍我国古代数学的历史成就，以增强我们的文化自信.比如在讲有理数中的负数时，可以带领学生学习“阅读与思考”材料：“中国人最先使用负数”(义务教育教科书·数学·七年级上册，教育部2012年审定，人民教育出版社2012年6月第1版)，通过教材知识的讲解和史料的学习，学生学习了负数，并了解我国古代中国数学知识的国际领先地位，增强文化自信.在高中，一些数学史的知识融入某些数学知识及其某些章节的教学中，并且在引入实际教学中取得了很好的教育教学效果.比如在等比数列的前n项和的教学中，我们可以引入高斯在解决1+2+3+4+…+100时的思想方法，类比归纳出等差数列的前n项和公式；再比如在导数的教学中，除了教材里的“气球膨胀率”和“高台跳水”的例子外，我们也可以引入瞬时速度、曲线在某一点处切线的斜率，通过这两个导数产生的本源性的例子，引入牛顿和莱布尼兹，可以让学生了解导数产生的历史背景，知道从运动学和几何学的不同角度，引出处理这一类问题的相同的方法，这样可以引导学生的数学科学思维.再如“圆锥曲线”，在中学是一个很难理解和定义的一个概念.只有在熟悉“圆锥曲线”的历史和概念的发展历史上，才能更好地进行引入教学.不熟悉“圆锥曲线”的历史和概念发展，很难将这个概念讲清楚、解释清楚.找到“圆锥曲线”概念产生的本源性问题，才能更好地讲解清楚“圆锥曲线”.在大学阶段，数学专业课程的分类及发展，更能体现数学和数学史的发展.数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计、高等几何……哪一门课程都是数学和数学史发展的再现，了解这些知识背景之后更利于学生学习各科数学知识.再比如绝大多数师范类大学数学专业将“数学史”或“数学史教程”列为学生的专业选修课和数学教育专业研究生的必修课，这对于开阔学生的数学知识视野和数学思想有着巨大的积极作用.

数学史融入数学教育教学之中，是这些年数学史知识在数学教育中蓬勃发展的一件喜事.数学史融入数学教育教学的现实渗透是潜移默化的.从大中小学课堂的实际需要，到各个层次各年级数学教师的热情参与，再到数学学习者的喜爱程度，共同将数学史融入各级各类学校的数学课堂教学推向了一个新的高度，社会认可度大大提高.国际上的相关数学组织和世界各国的数学家和数学爱好者都在研究这一问题.在国内，我们的中小学数学课堂也随处可见数学史渗透到课堂的实例.国内的一些专家、教授也在密切关注并推动着数学史融入数学课堂教学.我国的HPM专家、华东师范大学博士生导师汪晓勤教授就是其中的一员，他和他的团队(华东师范大学教师教育学院、数学史与数学教育(HPM)工作室、上海市“立德树人”数学教育教学研究基地)长期潜心研究数学史渗透到数学教学课堂，并在实践中不计其数地深入大中小学课堂进行教学渗透尝试.从理论研究到大中小学数学课堂的实践教学，多次实践，多次交流探讨，汪晓勤教授带领着他的团队取得了很大的成绩，发表了很多数学史融入数学教学相关的论文，并出版了多本相关专著.

四、结束语

在信息化升级时代，离不开数学人才的持续培育.数学的发展，推动着数学和各门学科不断向前发展.数学，在现实世界发挥着巨大的引领作用.数学具有基础性、重要性的地位.一个合格的数学研习者，除了具有学习数学理论的基本素养和相关数学知识的能力外，也需要与知识、涵养、品格相符合的人格.正所谓，伟大的人格创造伟大的事业.这既是数学史证明了的颠扑不破的真理，也是每个接受数学教育的学习者需要在探索式学习过程中，牢牢把握的出发点.建议在科学技术融合的新阶段，加强数学史在数学教育中的多元化渗透.