习新研旧 追根索源——对一道三角函数月考题的探究学习

◎唐满辉(广东华侨中学,广东 广州 510100)

在数学复习或考试中，有的同学效果不理想，达不到预期目标，究其原因，是学得不扎实、理得不透彻、练得不精准，但也有事半功倍者.其实不管复习还是考试都有方法与技巧.学生在复习课中，对知识要习新研旧，对考题要追根索源，对结果要反思总结.笔者通过对往年考题的深度研究，实现了更高效的复习备考.新知是对旧知的拓展与延伸，旧知是习新的基础来源，新知的学习往往可转化为旧知的重构、提高与升华，我们可以在旧知中孕育新知，发展新知.数学是一门非常严谨的逻辑科学，它有一套完善的知识系统.学生“习新研旧”“追根索源”，方能把课本读薄，把试题做对，学巧方法，提升素养.

下面本文将以一道三角函数题为例，浅谈“习新研旧”与“追根索源”.

一、题根呈现

已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx.

(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的最小正周期及单调区间.

(2)求函数G(x)=f(x).g(x)的最小正周期及单调区间.

(k∈Z)；

(k∈Z).

二、考题研究

这道题是高二下学期月考选择题第12题，正确答案是B、C，根据评分规则，全对5分，错选0分，漏选均为2分，评卷情况如下表.

表一 基本情况

表二 学生作答情况

分析：本题的难点在于函数关系的变形改造，其实突破口也在于此，变形改造后，求出待定数ω与a，再进行合一变化，正常来说难度不大.根据数据分析，学生作答情况不理想，这值得我们反思.在高考备考过程中，学生需要在归纳总结的基础上，做到基本知识、基本题型过关.学生为什么没有得到正确答案？经分析，笔者发现学生题干的化简整理有问题，基本运算不过关，得不到简化后的正确的函数解析式，故选项有“瞎猜”的情况，尤其有学生选A选项更能证明这一点.

下面笔者就题干部分，结合试卷讲评情况，做出解答.

探究多种方法：

进一步确定参数a.

方法1 利用三角函数对称性

方法2 利用导数研究函数

对称轴处对应函数极值，

∵f(x)=asin 2x+cos 2x，

∴f′(x)=2acos 2x-2sin 2x.

方法3 利用辅助角

探究多种性质：

性质1 函数最值与极值.正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，即函数的极大值或极小值.

性质2 函数零点.三角函数对称中心的横坐标一定是函数的零点.

性质3 函数单调性.既可以利用三角函数图像特点研究三角函数单调性，又可以利用导数研究三角函数单调性.

性质4 三角函数的周期性.

性质5 三角函数的对称性.

点评：高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，但就一般学生而言，也未必能驾轻就熟.因此，在复习过程中，学生既要注重三角函数知识的基础性，又要熟悉三角函数的图像和相关性质，熟练化简、求值.三角函数知识具有工具特征，与代数、几何、向量的联系较多.学生对三角函数知识应有应用意识，教师在复习考试中要引导学生善于观察、联系、转化，引导学生对练习和考试中出现的问题进行总结反思，或者及时有针对性地纠错再练，使学生在熟练掌握基本知识、基本方法的基础上，做到不出错或少出错.

三、微课录制

我们可针对这个内容，以及相关资源，将题干和题支处理部分录制成10分钟的微课，针对不同方法、不同知识、不同思想，运用直观有趣的方式进行讲解，知识讲解与答题指导相结合，供学生课后根据自己的基础、程度和个人的应用倾向，继续深度学习研究.教师根据学生课后对微课的学习研究情况可以看出不同层次学生对不同方法的理解、接受、应用的程度.多方法，多思维，多突破，在比较中学习，在学习中反思，在反思中提高，在提高中升华，这样更加有利于学生的分层教学.教师要提高教学的针对性，把因材施教落到实处，落到细处，从而把课堂教学从有效变为高效.

通过了解学生后续学习与练习，我们进行了方法统计.

表三 方法统计

通过上表分析，教师利用微课教学，对成绩中下游学生的提高有很好的辅助效果，同时微课的多思维、多方法，可供上中下不同层次学生做出选择.

变式研究：

解：(1)方法1 利用辅助角

化简得：(a+b)2=2(a2+b2),

所以a2-2ab+b2=0,即(a-b)2=0,故a-b=0.

方法2 利用导数研究函数性质

方法3 利用对称性

∴a=b，即a-b=0.

(2)由(1),得a=b，

即g(-x)=g(x),所以g(x)是偶函数.

表四 基本情况

通过上述数据分析可知，微课形式明显有利于帮助学生学习，即使是在分层教学方面，也有明显的优势，中下游学生成绩提高，中上游学生对题型的理解更加深入，也更加透彻，能做到举一反三，提升素养.微课加纠错加反思，对促进学生的学习进步有明显效果，既提高综合能力，又提升学习信心，利于局部，更利于整体.

四、教学反思

变式教学学者鲍建生等教授认为：数学学习往往要经历“过程”达成，然后转化为对概念的认知过程.从这个意义上来说，数学学习也不可避免地扮演过程的操作性和概念的结构性双重角色.基于这种考虑，在教学上，“习新研旧”不能无的放矢，为变而变，试题设计要围绕数学概念的元素和关系，分别设计区别该元素的题组.教师在教学中注重概念与过程，就要兼顾内容，兼顾学生的数学知识基础，实现高层次思维能力的达成.我们“习新研旧，追根索源”就是抓住课本，以本为本，熟悉基本题型，强化基础，抓变式，进行变式研究，实现举一反三；抓反思，达到提高与升华的目的.

我们在模块复习中，题目总有难有易，命题考试也是如此，而且学生有不同的基础、不同的学习兴趣与能力，层次不一样.如何让学生学有所获，考有所得？如何把因材施教落到实处，更好地实现公平教育？除了学校有计划地主动分层推进教育外，教师利用信息化手段，制作质量好的微课，实现重点突出，难点突破，是行之有效的方法.事实证明，微课教学对学困生的帮助是很大的，他们或许思维慢一步，理解迟一点，但通过教师讲解，加之微课补充学习，就能理解透彻，学有所成.