核心素养视角下的数学教学设计—以“等差数列的前n项和公式”为例

◎张 月 汤 强(西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000)

一、问题提出

课程教学目标经历了从 “双基”到三维目标再到如今的核心素养的转变，给教师带来了新的挑战，教师不能仅仅把教学的重心放到学生对知识的了解、 理解、掌握上，而应当思考如何通过教学使学生从知识的学习转变为数学核心素养的发展.本文通过对“等差数列求和公式”进行教学设计，旨在使学生掌握必备的基础知识和基本技能的同时能够提高数学核心素养.

二、核心素养的概述

北京师范大学研究小组将学生核心素养定义为学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.高中数学课程标准将数学核心素养定义为具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质和关键能力.高中阶段数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.

三、核心素养理念下的教学设计

(一)教学过程设计说明

在核心素养理念下，教学目标的制订要以培养学生数学核心素养为宗旨，教学过程的设计要以培养学生核心素养为主线，数学思维的鲜花应生长在问题串的土壤上，以培养学生的逻辑推理素养和数学思维素养.在问题驱动教学的过程中，教师可以以问题串为载体，以问题为学习的驱动力，将教学过程划分为以下几步：①引导学生将“现实问题”抽象成“数学问题”，以发展学生的数学抽象素养；②以直观想象和数据分析能力为思维的翅膀，通过数学运算和逻辑推理对“数学问题”进行求解得到数学模型；③以数学模型解释现实问题；④设置变式题、拓展题对数学模型加以应用.要做到在教学整个过程中渗透数学建模思想，教学过程导图如图1所示.

图1

(二)教学分析

1.教学内容分析

等差数列求和公式是在学习了数列及等差数列的通项公式之后学到的知识，同时为后面等比数列求和公式的学习奠定思想基础，在高中学习中占有重要地位.

2.教学目标

(1)通过类比推理的方式得出等差数列前n项和公式，培养逻辑推理能力.

(2)通过将现实情境中的等差数列抽象成数学问题的过程，培养数学建模、数学抽象能力.

(3)通过知识的学习，领会数形结合思想、特殊到一般思想.

3.教学重难点

教学重点：等差数列前n项和.

教学难点：等差数列前n项和公式及推导.

(三)教学过程

1.抽象现实，导入新课——发展数学抽象素养

情景：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？即今天有人来给钱，第一个人给一钱，第二个人给两钱，第三个人给三钱，以此类推.

问题1：一百个人总共给多少钱？

分析：为了求累计给的钱数，对故事中的现实问题进行抽象，上述故事中第n个人所需给的金额数为n,求100人所给的钱数之和即求1+2+3+…+100=.

追问：在两百年前，高斯就对这样的问题给出了一个简单的求解方法.两百多年后的今天，同学们对这种题目的求解有什么想法呢？

师生活动预设：由小组讨论完成，学生发散思维、集思广益.

设计意图：以现实问题导入，引导学生对现实问题进行抽象，有利于提高学生的抽象概括能力，发展学生的数学抽象素养.早在几百年前就有古人在研究等差数列了，选择在课堂中渗透数学文化，能够让学生感受到中国数学发展历史之悠久，能够有效提高学生学习的积极性，激发学生的学习动机，刺激学生与问题对话.

问题2：上述方法称为“首尾相加法”，这种方法的本质是什么？如果是一组不能刚好配对的数相加呢？如1+2+3+4…+201=？

生1：应用首尾配对法可将上述算式拆解成：(1+201)+(2+200)+(3+199)+…+(100+102)+101=20301.

生2：先算出前200项之和再加上最后一项，即将上述算式拆解成：(1+200)+(2+199)+(3+198)+…(100+101)+201=20301.

生3：添项，1+2+3+4+…+201=1+2+3+4…+201+202-202=(1+202)+(2+201)+(3+200)+…+(101+102)-202=20301.

追问：由上述两个问题我们可以发现“项数”和“求和过程”之间有什么关系呢？

生：用首尾相加法计算，项数为奇数时有一项多余不能配对，项数为偶数时，刚好可以配对.

设计意图：基于高斯发现的“首尾相加法”进行数据分析、数据处理和数学运算，对于不能配对的和式的处理，可以通过迁移“高斯解法”用化归的方法转化和式，最终用“首尾相加法”求解，符合学生的认知过程.在此过程中，教师要引导学生借助数据分析的翅膀进行数学运算，使数学运算素养得到发展.

2.归纳推理，寻求通法——发展逻辑推理素养

问题3：如果将上述和式一般化，求1+2+3+…+n=.

师生活动预设：学生合作探究，在前面两个例题的基础上，学生对于解决这类连续自然数求和有了一定的思考，因此，在求解有限个连续自然数之和的时候，大多数同学能够想到运用首尾相加法.但由于不知道这一列数是偶数个还是奇数个，所以需要讨论n的奇偶性.教师进一步让学生分两组进行讨论，其中一组讨论n为奇数时的结果，另一组讨论n为偶数时的结果，并借助多媒体展示学生的答案.

师生活动设计：教师留给学生充足的思考时间，生生之间合作探究.

追问2：我们在前两个例题中用“首尾相加法”求得和式的值，这种方法的目的是什么？

生：分组配对，使每一对的和均相等.

追问3：同学们能不能找到其他的构造相等项的方法呢？

师生活动预设：学生合作探究，小组讨论，思考配对的方法，教师巡视，学生给予指导.

生：将这n个数的顺序颠倒再对应相加可以凑成n对，且每一对都是n+1.

(教师对学生探讨的结果进行表扬，肯定学生的思考)

师：令S=1+2+3+…+n

则：S= 1 + 2 + 3 +…+n

S=n+ (n-1) + (n-2) +…+ 1

所以2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+…+(n+1).

这种方法称为倒序相加法，由倒序相加法求解和式时不需要讨论其奇偶性.这种倒序构造相同项的思想在几何中也有应用.

设计意图：“疑是思之始”.由“首尾相加法”需要分奇偶性讨论的弊端引发学生的认知冲突，并通过一系列的追问，驱动学生思考如何在不改变构造相等项的本意下寻求更加简捷的求解方法——倒序相加法，以此追问之下促使学生思考如何寻得捷径，同时为等差数列前n项和公式的发现提供先行组织者，为新知学习搭建脚手架，也降低新知学习的内在认知负荷.在这个过程中知识是自然发生的，能够有效地培养学生的逻辑推理能力.

3.数形结合，深化理解——发展直观想象素养

问题4：图2是由一些点构成的等腰三角形，同学们请观察下每相邻两层的点有什么特点？

图2

师生活动预设：教师通过多媒体展示图2中的等腰三角形，学生观察后容易发现每相邻两层的点数相差1，教师进一步追问.

追问1：同学们有什么方法可以求得这个等腰三角形中点的个数呢？

师生活动预设：学生独立思考并举手作答，与前面的首位相加法联系，可能会有如下两种情况：①将第一层添加7个点，第二层添加6个点……第七层添加1个点；②直接数.教师对学生的解决方法进行点评，并用多媒体展示第一种方法的图示(图3).

图3

追问2：原图形与“拼凑的图形”有什么关系？

师生活动预设：学生独立观察，可以发现将图2旋转180°便得到“拼凑的图形”.在教师的进一步引导下学生能够得到原等腰三角形中的点数=平行四边形的点数÷2，进而引导学生发现这个问题求解的关键是构造相等的量(每一行点数相同).

设计意图：通过求等腰三角形的点数问题，加深学生对利用倒序相加法构造相同项的理解，通过数形结合思想来培养学生的直观想象素养，使学生对倒序相加法有更深层次的理解，帮助学生推导出等差数列前n项和公式.

4.类比运用，构造模型——培养逻辑推理素养

问题5：将等差数列的前n项和记为Sn=a1+a2+…+an，利用求前n个非零连续自然数的和的方法能不能求等差数列前n和呢？

师生活动预设：学生小组讨论，教师观察各组的讨论情况，并请小组代表说出自己的想法.在此过程中教师进行引导，辅助学生得出等差数列的前n项和公式可能会出现如下两种情况：

①利用等差数列的通项公式

Sn=a1+a2+…+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]

=na1+d(1+2+3+…+n-1)

②由等差数列的性质，当m+n=k+t时，am+an=ak+at，得出：

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

=n(an+a1)

设计意图：通过学生合作探究，变被动接受为主动获得知识，通过类比前面利用倒序相加法解决前n个非零连续自然数求和问题，由特殊到一般，给出等差数列前n项和的推导过程，在此过程中鼓励学生自主完成公式推导，培养学生的类比、分析及推理能力，从而发展学生的逻辑推理素养.

5.应用模型，巩固新知——发展数学建模素养

基础练习：

练习1：根据条件，求等差数列{an}的其他相关未知数.

(1)a1=20，an=54，Sn=999,求d及n.

(4)d=2,n=15,an=-10，求a1及Sn.

提高练习：

生命之限：棣莫弗，法国数学家，从小热爱数学，后被迫离开自己的家乡来到英国，在英国他利用自己的数学知识以做家教为生，他在数学史上也做出了巨大的贡献，一生热爱数学，他很想在大学里当一名数学教授，却一直未能如愿.他于1754年去世，但是他的死是一个奇迹，他去世前不久，他声称每天比前一天多睡15分钟，睡满24小时那天，就是他生命的终点.这个预言竟然成真.

假设棣莫弗在1754年的9月24日说的这则预言,且当天的睡眠时间为8小时，他去世于哪一天呢？从9月24日至他去世他一共睡了多少个小时呢？

设计意图：基础练习部分帮助深化学生对于等差数列求和公式的认识，发现a1，an，Sn，d，n五个变量“知三求二”的关系.培养学生数据分析及数学运算的能力，从而发展学生的数学运算素养和数据分析素养.提高练习部分使学生感受到数学的应用价值，发展学生的数学应用意识，使学生能够用数学知识解决实际问题，用数学的眼光观察世界从而培养学生的数学建模素养.

6.归纳总结，回顾新知小结

一个公式:等差数列求和公式Sn=n(a1+an)2一种证明:倒序两个趣史:①棣莫弗:生命之限②高斯:首位相加法三种思想: ①数学结合思想 ②从特殊到一般 ③类比思想

四、总 结

笔者认为，在核心素养视角下创新课堂教学时，应当尽可能地利用资源，促进学生的发展，注重公式的推导过程，而非让学生对公式进行死记硬背，而应让数学运算素养的培养贯串始终.同时定理公式的教学应该重视数学应用、多留意公式定理的现实背景，使学生明白数学源于现实，并且应用于现实.