浅谈初中数学三角函数的解题技巧

◎李 宁(邹平市西董街道鹤伴中学，山东 邹平 256218)

引言

初中数学中的锐角三角函数是初中数学的重点内容之一，在中考试题中占据很大比例.同时，锐角三角函数也是三角函数内容的入门阶段.可见，学生能否掌握锐角三角函数的相关知识点，不仅关系着他们是否可以取得优异的中考成绩，还关系着学生未来能否学会三角函数的内容.因此，初中数学教师在教学过程中要重视讲解此板块基础内容，以此帮助学生构建完整的三角函数思维模式.除此之外，教师还要结合相应例题向学生讲解对应的解题技巧，以此帮助学生成功突破锐角三角函数这一学习难点.

一、基于初中数学三角函数的教学现状

在学习锐角三角函数之前，学生已经学习过正比例函数、反比例函数等各种函数内容.不过，锐角三角函数与此前学习的函数问题没有多大关联，彼此之间存在诸多不同之处.因此，学生无法依靠之前的经验去学习锐角三角函数的相关内容.锐角三角函数是以锐角角度为自变量，以比值为函数值的函数，这是不同于普通函数的地方.在解答锐角三角函数的相关问题时，学生不仅要考虑正弦、余弦、正切的基本定义，还要结合图形进行分析.如果学生不具备一定的逻辑分析能力，那么很难找到题目的解答思路.除此之外，大多数学生在解答过程中无法灵活运用正弦、余弦等基本定义，从而导致解答出错，进而影响学生的学习兴趣.由此可见，初中数学三角函数是教学难点，也是学生的学习难点.这主要与锐角三角函数的特殊性、复杂性有关.为此，教师在教学过程中，需要讲解相应的解题技巧，以此帮助学生打好锐角三角函数的基础.只有这样，学生才能更好地去应对中考及未来的学习.

二、基于初中数学三角函数的解题策略

(一)直接引用公式，完成解题任务

“直接法”是解答锐角三角函数问题的主要方法之一，也是其他解答技巧的基础.“直接法”就是根据题目给出的信息，直接对锐角三角函数进行运算或者变形，得出正确的答案.若想灵活运用“直接法”完成解题任务，就需要学生牢牢掌握锐角三角函数的基本公式.由此可见，“直接法”是一种以基本公式为基础的解题技巧，也是所有学生都必须掌握的基本方法.

(二)巧用正弦、余弦定义，实现简化习题

正弦、余弦定义是初中三角函数的重点内容，也是学生的学习难点.在初中三角函数的相关题型中，一般都是以判断直角三角形三边关系的形式出现，而正弦、余弦定义便是解决三角形三边关系的关键.因此，教师在教学过程中不仅要帮助学生掌握正弦、余弦的定义，还要让他们弄清楚特殊锐角三角形的正弦与余弦之间的关系.这样的话，学生才能根据正弦与余弦之间的关系进行边角互换，进而简化习题，方便学生理解吸收.

图1

再如，计算sin 30°+cos 45°-tan 45°+tan 60°×sin 45°-cos 90°+(3+π)0

(三)巧用勾股定理，培养数形结合思想

在初中三角函数的相关题型中，一般都会涉及直角三角形，而勾股定理又是解答有关直角三角形题型的重要公式.因此，教师要结合相应题型帮助学生熟悉掌握勾股定理，以此让他们可以灵活运用直角三角形的性质解题.这样，学生才能更好地解决关于锐角三角函数的综合性问题.总而言之，初中数学教师在讲解锐角三角函数的相关题型时，要帮助学生理解并掌握勾股定理及其逆定理的使用方法，以达到数学学习的目的.

例如，在学完“锐角三角函数”之后，教师为学生出示以下涉及勾股定理三角函数的问题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，求sinA与sinB的数值.

从本题的主要信息点及给出的三角形可以看出，本道习题只需要结合勾股定理及相关的三角函数基本公式，便可轻松得到答案.首先，教师引导学生利用勾股定理求出直角三角形ABC的斜边长度.根据图中给出的BC边、AC边的长度，学生可以轻松得知AB边的长度为5.接着，教师引导学生结合正弦定义求出sinA与sinB的数值.除了正向使用勾股定理之外，教师还可以结合相应习题帮助学生熟悉掌握勾股定理逆定理的使用方法.总而言之，初中数学教师要明确勾股定理在三角函数问题中的重要性.

再如，在初中数学知识竞赛中，让学生测量一棵树的高度，某名学生构建了如图2所示的图形，CD为树的高度，∠CAE=30°，AB长度是13米，BD的长度是6米，通过对AB的坡度进行测量，得出坡度是1∶2.4，请问，这名同学如何求得大树的高度？

图2

解题前，教师需引导学生作出辅助线BF使BF垂直于AE，垂足是点F，在矩形BDEF中，BD=6，所以EF=6，设BF=DE=x，即AF=2.4x，三角形ABF是直角三角形，根据勾股定理可以得出x=5，BF=DE=5，AF=12，在直角三角形ACE中，利用三角函数的性质，便可求出线段CD的长度，即得出大树的高度.此题考查学生对勾股定理和三角函数的掌握程度.学生只有熟练掌握这两个知识点，才能够快速准确地解答此题.

(四)重视讲解基础，培养思维模式

锐角三角函数是三角函数的入门阶段，这是学生从没有接触过的全新内容.因此，教师在教学过程中要注重讲解锐角三角函数的基础内容，如正弦定义、余弦定义及其相关概念等基础知识.同时，教师要向学生介绍几何知识与锐角三角函数之间的联系，并且巧用几何知识帮助学生理解三角函数的相关知识点，并借此方式，帮助学生在脑海中构建完整的几何关系图，进而形成三角函数思维模式，这便是解答锐角三角函数问题的基础.

例如，在教学“锐角三角函数”的时候，教师提问学生：三角函数的自变量是什么？因变量是什么？这个函数与普通函数有什么不同？然后，教师让学生围绕以上问题自由阅读课本.大多数学生经过自学之后，都能够发现三角函数的特殊性“以锐角角度为自变量，以比值为函数值”.为了让学生对三角函数的概念有更深的认识，教师可以结合几何知识展开教学，以此让学生明确三角函数的定义及用法.讲解完基本概念之后，教师应着重向学生介绍初中三角函数中的重点内容“正弦定义、余弦定义与正切定义”，以此帮助学生逐步深入掌握本课时的内容.总之，教师要重视三角函数的概念等基础知识，并确保学生掌握这些内容.这样，学生才能逐步构建出完善的三角函数思维模式.

(五)联系生活设计习题，灵活运用公式

学生若想灵活运用各类解题技巧，必然需要大量的练习.在教学过程中，教师不能只关注基本的习题，因为这样不仅会令教学内容变得枯燥乏味，还不利于帮助学生熟悉、掌握各种公式，因此，教师在教学过程中要及时丰富教学内容，可以将生活中的三角函数问题融入课堂，以此激发学生学习三角函数的兴趣.同时，生活化问题还可以有效锻炼学生的实践应用能力，帮助学生熟悉掌握锐角三角函数的相关内容.

在学完“解直角三角形及其应用”之后，教师可以及时联系生活实际设计习题.例如，已知楼房AB与楼房CD之间相距36米，某工程师站在楼顶A处测量到楼房CD的楼顶的仰角为45度，测量到楼房CD的楼底的俯角为30度，求楼房CD的高度.首先，教师应引导学生利用几何知识及三角函数的基本公式求出楼房AB的高度.接着，教师引导学生延长A点至CD，在延长线上找一点E，并且保证AE//BD.随后，教师引导学生利用AB的长度及相关知识求AE的长度.最后，教师引导学生逐步求出CD的长度.总之，教师要及时结合生活实际设计习题，这也是帮助学生灵活运用三角函数公式的有效手段.

(六)借助数形结合思想，降低解题难度

在初中数学三角函数解题中，教师可引入数形结合思想，利用汉字、数字及图形等，丰富学生的数学认知，将原本难度较大的知识，通过形象、直观、具体的方式展示出来，以便学生接受和理解.例如，在解题过程中，教师借助数学图像，帮助学生准确获取信息，并通过数学图像找出解题切入点，发掘题目中的隐藏信息和条件.这种将数学图像和数学语言进行转化的方法，能够更好地帮助学生解答三角函数问题.例如，在三角函数定义域类型问题的解答中，教师可以引入数形结合思想，引导学生根据题目中的定义域，画出相应的三角函数图像，对函数图像进行分析，找出函数式各个部分的具体意义，利用三角函数图像列出不等式，完成三角函数定义域的求解.数形结合思想在三角函数题目中，应用较为广泛，主要有单位圆法和函数图像法两种方式.教师可以根据具体题目，引导学生运用适当的方式，深入探究函数和图像之间的关系，进而培养学生利用数形结合思想解题的能力.

(七)把握习题难度，提高解题能力

结束语

由此可见，在初中数学三角函数的教学中，教师首先需要注重讲解基本的概念、公式等理论知识，这是帮助学生提升解答三角函数问题能力的重要前提.除此之外，教师还要及时结合生活实际设计习题，并且向学生传授各种解答技巧，以此帮助学生熟悉掌握三角函数的基本公式.这样，学生才能更好地应对复杂多变的三角函数问题，进而体现数学课堂的教学价值.