浅谈小学数学中的鸡兔同笼的问题

陈弘

【摘要】鸡兔同笼是中国古代就有的名题，本文浅析在小学数学中所涉及的鸡兔同笼问题，并结合较多的案例和练习题进行巩固加深概念，继而设计到多种不同的方式方法解决该问题.

【关键词】鸡兔同笼;解题技巧与方法;解方程

鸡兔同笼是我国古代比较有名也很有趣的一类题.大约在1500年前，古书籍中就记载了此类相关的有趣的问题.有本书中是这样写的：“今有雉兔同在一笼，其中上有三十五个头，下面有九十四足，问雉兔各有几何？”这四句话的大概意思就是：有不定量的鸡和兔子被关在同一个铁笼里，然而从上面看的话，有35个头;但是从下面数的话，有94只脚.那么问笼中有几只鸡和兔子.

一、典型案例及解决方法

鸡兔同笼问题从小学到初中会有多种不同的方式解决，而且方法不同涉及的思维方式也不同，但不变的是，都是让同学们在脑中设想、构建假设的模型这一过程中体会到数学的魅力[1]，进而逐渐地提高自身思维、解题思路.按照教材安排来讲，本届知识被放在六年级教材最后一节，主要目的是为了开拓学生的思想视野、培养数学建模的初级能力.

在古书中有这么一种被叫作“砍足”或“断足”法，基本步骤如下：

兔数（94÷2）-35=12（只），

鸡数35-12=23（只）.

这一思路比较新奇，到后来这种思维方法叫化归法.化归法的意义就在于，先不采取直接的分析，而是把题中已知的条件或问题进行合理变形，转化，最终达到把它归成某个已经解决的问题.除此之外，还有其解题方法来看鸡兔同笼问题，公式总结来看有如下几种方法：

方法1：总体（兔子的脚数×总的个数-总的脚数）÷（兔子的脚数-鸡的脚数）=鸡的总只数，

即总共的只数-鸡的只数=兔子的只数.

方法2：分类（总的脚数-鸡的脚数×总的只数）÷（兔子的脚数-鸡的脚数）=兔子的总数，

总的只数-兔子的只数=鸡的总只数.

方法3：分类（总的脚数÷2）-总的头数=兔子的只数，

总的只数-兔子的只数=鸡的只数.

这种方法是解决问题此类问题比较常见的形式，主要是为了学生刚接触此类问题时，渐渐地找到其中隐藏的不同规律，并且尽可能地利用现有的规律来解决问题.这方法本身是一个由特例到普遍的代表，或者是由形象化到抽象的，但是，这种方法仍旧有较多的不足和局限，特别是考试的时候，需要占用较多的时间，大大降低了做题的效率和进度.但是值得注意的是，虽然此方法有诸多弊端，但不仅是一个思考到实验再到确认的过程，提高此方法的效率，不断演变出新的方法解决问题，是教学的主要目的，也能够提高学生化解难题的能力.

二、思维扩展型解题技巧

假设在一个笼子中共有46个头，共有128个脚，那么鸡和兔子各有几只？

解析 假设46只都是兔子，那么应该一共有4×46=184只脚，但是这个和已知相关题目给出的128只脚多了184-128=56只脚.那么假设，如果用一只鸡来换一只兔子，相比要减少4-2=2只脚.但是46只兔里应该换几只鸡才能使差数就没有呢？显然，56÷2=28，要用28只鸡，去换28只兔子就可以了.所以，鸡一共有的数就是28，相反兔子的总数是46-28=18.

解 （1）鸡一共有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）=28（只）.

（2）那么相反，兔子有多少只？

46-28=18（只）.

此类解体的基本关系是：鸡的总数=（每只兔子脚数×兔子总数-实际的脚数）÷（每只兔子的脚数-每只鸡的脚数），

兔的总数=鸡和兔总数-鸡的数量，

当然，反过来看也是可以的.

（3）一元一次方程

解：设兔有x只，根据总数来看鸡的数量就是有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94.

（4）二元一次方程

解：设鸡有x只，兔有y只.

x+y=35，2x+4y=94.

对教师在教授“鸡兔同笼”这一类数学问题时，一定要创新发展新的思维方式，重点偏向于，引导学生通过思考、假设、验证、推理等综合的手段来解决问题.其次，教师还要正确认识“鸡兔同笼”问题，在教学的领域方面，以简单、容易理解的形式，在课堂上教授，并且达到最好的效果.再者，在学生已有的思想、理论、知识的基础上，仔细认真的体会和感受，多形式多方法的数学思想，引导每一名学生，在有限的时间内，充分体会数学分析法，在分析和解决问题中的重要性和重要意义，并且尽可能让更多的学生能够从研究、思考鸡兔同笼问题，而得到的经验与思考方式，运用到其他问题中，深刻地体会到数学的重要影响.

三、总 结

综上所述，教材中引入“鸡兔同笼”此类开放性的问题，用不同的创新思维方式解决，同时也满足了不同学生的需求，意在注重学生的全面发展.这一类问题，主要在于让每个同学切实的体验设想，经过自己的猜测试验后得出结论，不仅有利于提高協作的能力，也可以大大的促进思想的转变.

【参考文献】

[1]郜舒竹.“鸡兔同笼”算法源流[J].教学月刊小学版（数学），2012（Z2）：26-29.