概念教学需笃思，勿以其小而疏之

夏青青

【摘要】概念是思维的基本单位，由此可见数学概念的重要地位.但由于数学概念自身的特点，在教学实践中，还是会不同程度地存在直接给出或过快带过数学概念，导致学生没有真正掌握概念的内涵;或者以解题教学代替概念教学，导致学生耗费了大量时间精力学习，却对数学内容，方法和意义知之甚少.不但增大学生学习数学的难度，甚至还会让孩子对数学产生偏见，滋生畏难和讨厌心理，沦为无效甚至是负效教学.针对这一现象，这几年的教研也一直在强调概念教学的重要性，笔者结合自身的教学实例浅谈几点对数学概念教学的想法.

【关键词】数学概念;教学设计;引导自然生成

教师自身要先能够正确认识数学概念的作用，才能重视概念教学;要先能够认识到数学概念的特点，才能结合学生的思维水平设计概念教学.

一、教师首先要能正确认识数学概念的本质，作用及特点

数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，总结出其本质属性概括而形成的.它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点.学生在解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻.可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容.

由于数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，而初中学生受认知思维水平的限制，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度.因此，如何设计概念教学才能达到上述目的非常关键，下面结合自己的教学实例谈一些感悟.

二、结合平时的教学实例具体解析如何设计概念课教学

（一）重视学习新概念的必要性需求，充分发挥学生的主体性

在概念课的引入上，要树立起让学生自己去发现的观念，如果能让学生产生认知冲突，对学习新概念的必要性产生需求，并主动发现新概念是最佳途径.这样学生在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，同时还能培养他们的探究精神，激发学生的潜能.

比如，学习内错角、同位角、同旁内角的概念.

旧知：如图所示的两线四角∠1，∠2，∠3，∠4，任意两角的关系;对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4;邻补角：∠1与∠4，∠1与∠2，∠4与∠3，∠3与∠2.

新知：如图所示的三线八角，任意两角的关系.

探究需求：对这八个角的任意两个角，对顶角和邻补角显然不够用，还产生了新的位置关系的角组，这时就需要对其进行探究命名.

有前面两线四角的探究经验，学生已经有能力自己去发现新的位置关系的角，教师只需激发学生的探究需求，并引导学生从位置关系去发现新的角组并尝试对其进行命名.一定要给出必要的时间让学生去探寻，并让学生说出命名的缘由.以同位角为例，就有学生把它命为同侧角，理由是它们都处在两条被截线的同侧，在截线的同侧，这其实就是掌握了同位角的内涵，要注意给予学生充分肯定后，再冠以教科书的同位角名字.这样学生知其所以然后，必然牢牢地掌握了这个新概念.最终学生探究出来的不止这三类角（比如，∠4和∠7就有学生发现并命名为外侧角），很好地锻炼了学生的思维广度.虽然学生对新角组的命名不一定会刚好和教科书的一样，但这并不重要，关键是学生经历了主动发现、分类探究、自主命名等一系列因需产生的自然探究过程，既真正掌握了概念的内涵，又锻炼发展了数学能力.

不單三线八角，还有圆心角、圆周角、相交、相切、相离、割线、切线等概念也可以按此思路来设计教学.

（二）注意挖掘概念本身背后的数学文化，增强学生的学习兴趣，渗透数学育人价值

初中有些概念会比较抽象生涩，而且也较难引导学生发现或对其命名，这时如何酝酿氛围激发学生对新概念的学习兴趣就显得非常重要.初中的学生还是很喜欢听故事的，而一些数学故事不单趣味性强，里面也渗透着很多数学文化，也应该让学生多了解.比如，无理数的概念教学.

旧的教法：在学习平方根，立方根后，就涌现了很多带根号又开不尽的数，这些都是无限不循环小数，我们称之为无理数，从而给出无理数的概念.

问题：这样给出概念，感觉也不会突兀，但是通过作业反馈发现很多学生没掌握好.甚至到了初三总复习后还是会有一部分学生对这个概念一直迷糊，比如，常把227归为无理数.

纠因：按理“无限不循环小数”对学生的认知水平来说，文字的理解难度并不大.学生如果掌握概念内涵，就算忘了整数和分数统称为有理数，也能懂得通过动手计算227来判断它是否为无限不循环小数.因此，无理数的概念在学时能理解，但就是较难记住，没有掌握牢.

新的教法：在旧的教法给出无理数概念后，增加无理数的历史由来：公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯修斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，这与毕氏学派“万物皆为数”（只有理数）的哲理大相径庭.这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位.希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处.人们为了纪念希伯修斯就把不可通约的量取名为“无理数”.加入故事元素后，学生对无理数自然会感兴趣，而且印象更深.这时在尊重历史的前提下再做个通俗的迁移，从历史来看，毕氏学派抹杀真理才是“无理”.从字面上看，都无限了还不循环真的很苛刻很无理，这样学生对无理数的概念就记忆犹新.不单掌握了概念，也能从故事中感受到很多育人的价值点.

（三）注重在充足的感性材料里认识新概念，在充分地动口动手等具体实践中感悟内化新概念

数学概念有具体性和抽象性双重特性.在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念.注意给学生足够多的感性认识材料.比如，全等形、相似三角形的概念，要给足够多的图形材料，引导学生去观察归类、发现，并说出其共同点，最后抽象出其本质特征.

要想方设法创造机会让学生亲身感悟新概念，才能最大限度地掌握内化概念内涵.比如，在学了一元二次方程的概念后，不应只是停留在教师给的例子辨析上，而是要让学生自己举例来内化，在举例的过程中，一个班五十个学生举出的例子就有五十个，比教师给出的多多了，而且可以就学生给出的再进行辨析，还可以充分暴露学生掌握的不足，最终深化对概念的真正掌握.再比如，对比较抽象的绝对值的概念：一般地，数轴上表示A的点与原点的距离叫作数A的绝对值，记做|a|.对初一的学生而言，对这句话的理解是有难度的，如何从表面理解突破到掌握本质，就是通过一直举具体的例子让学生说出其意义，比如，|7|，|-4|，|0|，…代表什么，让学生在具体数中充分操练，才能真正掌握概念内涵.再比如，圆的内接四边形，给出概念后就可以让学生去画，这样不但内化了概念，还可以认识到对给定的圆，存在无数多个内接四边形;但是对给定的四边形要么只存在一个外接圆，要么就不存在.很多数学概念若能在动手实践中感悟，那么掌握内化就在自然无形中，而这种效果才是最牢固的.

（四）抓住一些概念间形异实同，一脉相承的关系，培养学生的类比迁移、整体架构能力

1.牢牢立足小学的“旧概念”，轻易吃透中学的“新概念”.

随着小学进入初中后数域的扩展，小学的数学概念并不会因此而改变，而是直接沿用或完善.所以从回顾小学旧知出发，直接引入或类比迁移即可.比如，倒数的概念就是直接沿用.

比如，“分式”里很多概念就可以立足于小学的知识，抓住中学从数到式这点，进行类比迁移，学生较易接受和掌握.比如，分数与分式，最简分数与最简分式，公因数与公因式，小学通分与中学通分，小学约分与中学约分，小学的质因数分解与中学的因式分解等.

2.识别出初中部分概念间的内在一致性，学一“渔”便可获多“鱼”.

通过类比一元一次方程可以得到二元一次方程、一元二次方程的概念;类比一元一次方程的解集的概念可以得到二元一次方程的解、一元二次方程的解，一元一次不等式的解集的概念;类比方程组的解的概念可以得到不等式组的解集的概念;类比一次函数的概念可以得到二次函数的概念;类比平方根的概念就可以更容易认识和接受立方根的概念.反过来后者的学习又能促进对前者的进一步认识，因此，做这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆和学习难度.

3.注意对同类概念适时地进行归一，提升学生的思维认识高度.

当初中的同类概念都学完时，教师要注意适时对其进行归纳.比如，在学完平行线的距离后，就可以对初中三个有关距离的概念进行归纳反刍，引导学生发现三者的内在一致性，并引导学生认识到两个图形的距离就是：一个图形上的任意一点与另一个图形上的任意一点间的距离中的最小值.这样学生的思維认识高度就能提升一个高度，对后续高中学习两圆的距离也做好了充足的知识铺垫.

（五）从学生的思维特点及接受能力出发，逐步螺旋上升地从表面到本质地认识概念

对比较抽象的概念不但要站在学生的思维高度来预估学生的学习难度，还要允许足够长的时间让其逐步从表面到本质地认识概念，才有可能设计出合适的方式引导学生掌握概念.比如，函数的概念对学生来说是相当抽象的，不必也没办法第一次就掌握，按学生的思维能力和知识学习安排可分时做不同要求.

1.在一开始学习定义时，对那么长一串定义，大部分学生是相当迷糊的.这时只要引导学生能结合生活实例来初步感受满足函数关系即可.在感受过程中，要紧扣满足函数关系的三个要求，这样就能在具体环境中感受抽象概念.比如，气温与时间的关系，在这个变化过程中，有两个变量，气温和时间，气温会随着时间的变化而变化，但是时间一旦确定下来，这时就只有一个唯一的气温与其相对应.时间就成为自变量，气温就为函数.教师多举几个例子后，鼓励学生自己去寻找生活中的函数关系，比如，同学的身高和同学之间的关系等，并且要追问学生为什么它是函数关系，让学生说出那三点，这样充分引导，充分操练，在充足的实例环境里感悟接受概念.再举解析式和表格形式的函数再次解析函数关系，从而很自然地引出函数的三种表示方式的需求及便利性.

2.在后续每次具体的函数（一次函数，反比例函数，二次函数）学习时，都应先复习函数概念，抓住之前那三点，再次感受这些是满足函数关系的，而且只是函数关系中的某一类.如果每次都有再细细地回头复习解析，那么学生对函数的理解这时就开始有点具象了，部分学生已经能真正掌握函数概念的内涵了.

3.如果说对一次，反比例，二次函数这种可以用解析式具体表示的函数，学生理解其函数关系难度是不大的.但是对初三下的锐角三角函数的概念学习，如果教师没能细细解析，绝大部分学生是很难接受这个函数关系.这个更抽象，尤其是自变量是锐角，锐角的正弦值（举一个）是函数.当然要能认识到其函数关系，关键还是要在前面的正弦概念学习中要真正掌握正弦的内涵.所以概念的学习也是一环紧扣一环的，相互影响制约，相互促进的，到锐角三角函数学完后，学生对函数概念的认识就螺旋上升到一定的高度了，这时学生会更深刻地看到函数的本质，到一定的高度，学生学习数学的喜悦感便会自然滋生，这对培养尖子生的素养是很重要的.

结合上面的分析，我们能充分感受到数学概念教学的重要性，其过程绝不只是停留在表层上的函数概念学习，内在蕴含着非常丰富的数学思想方法宝藏.教师只要用心去思考，雕琢数学概念的教学，学生不仅解题是水到渠成的事情，而且还滋养了很多数学素养，事半功倍.虽然对初中数学概念的教学，没有固定的模式，好的概念教学课也没有统一的标准.但是，在设计教学时最重要的就是站在学生的思维角度和高度，让学生能尽可能地看到新概念的引入是自然的，甚至是不可避免的.并且尽可能地发挥学生的主体性，引导学生主动探求，主动内化概念才能非形式化地理解并掌握所学到的东西.这样的概念教学才是有效的，对学生才具有积极的长远意义.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[J].福州：福建教育出版社，2014.

[3]章建跃.章建跃数学教育随想录[J].杭州：浙江教育出版社，2017.