一道常微分方程的多种解法

武海辉　张书勤

【摘要】常微分方程是数学类专业学生必学的基础课程，常数变易法、比较系数法、复数法和拉普拉斯法是求解n阶非齐次线性微分方程的常用方法.本文用了四种方法研究了一道高阶微分方程的求解问题，并给出了相应的结果.

【关键词】常数变易法;比较系数法;复数法;拉普拉斯法

【基金项目】安康学院教改项目（YB201807）安康学院自然科学基金项目（2017AYQN09）.

本文我们采用四种方法解决此微分方程：

解法一 （常数变易法）

我们先求出对应方程的特征方程λ2+1=0，求解出λ=±i，对应的实的基本解组为x1=cost，x2=sint，

设原方程的解为

x（t）=c1（t）cost+c2（t）sint，

则有

c1′（t）cost+c2′（t）sint=0，-c1′（t）sint+c2′（t）cost=cos2t，

解得c1′（t）=-sint+2sin3t，

c2′（t）=2cos3t-cost，

即c1（t）=-cost+23cos3t+c1，c2（t）=sint-23sin3t+c2.

综上可得，原方程的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中c1，c2为任意常数）.

解法二 （比较系数法）

解 特征方程λ2+1=0特征根为λ=±i，

对应的实的基本解组为x1=cost，x2=sint，

对应齐次线性微分方程的通解为

x=c1cost+c2sint.

利用比较系数法求得一特解.

因为2i不是特征根，故方程的特解形如

x（t）=Asin2t+Bcos2t，

代入原方程解得A=0，B=-13，故原方程的特解为

x（t）=-13cos2t.

综上可得，原方程参数形式的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中，c1，c2为任意常数）.

解法三 （复变法）

解 先构造方程x″+x=cos2t+isin2t，

化為对应的实方程为x″+x=e2it，

特征方程λ2+1=0特征根为λ=±i，

对应的实的特征根为λ1=cost，λ2=sint，

对应齐次线性微分方程的通解为

x=c1cost+c2sint，

由于2i不是特征根，所以求解公式中的k取0.

设特解为x（t）=Ae2it，

代入原方程得A=-13，故x（t）=-13e2it.

则原方程有一实的特解为x（t）=-13cos2t.

综上可得，原方程的通解是

x=c1cost+c2sint-13cos2t

（其中，c1，c2为任意常数）.

解法四 （拉普拉斯变换法）

解 令x（0）=s′（0）=0，

对方程两边进行拉普拉斯变换得

（s2+1）X（s）=ss2+4，

化简得X（s）=1s2+1·ss2+4，

查看拉普拉斯变换表可得所求初值问题的解为

x（t）=sint·cos2t，

又对应齐次线性微分方程的通解为

x=c1cost+c2sint，

故原方程的通解为

x=c1cost+c2sint+sint·cos2t

（其中c1，c2为任意常数）.

【参考文献】

[1]叶彦谦.常微分方程讲义[M].北京：人民教育出版社，1979.

[2]蔡燧林.常微分方程[M].杭州：浙江大学出版社，2001.

[3]李必文，赵临龙，张明波.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.

[4]赵临龙.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.