关于M-D及相关不等式

姚秀凤

【摘要】本文利用控制不等式理论给出了Mitrinovic'-Djokovic'不等式的一个控制证明和相关不等式，建立了若干新的不等式.

【关键词】M-D不等式;Schur凸性;受控

本文中，Rn和Rn++分别表示n维实数集和n维正实数集，并记R1=R，R1++=R++.

An（x）=∑ni=1xin为n元算术平均.

1948年，G.H.Hardy证明了一个二元不等式[1]：

对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式

x1+1x12+x2+1x22≥252（1）

成立.

1970年，塞尔维亚数学家D.S.Mitrinovic'等利用分析的方法将式（1）推广为[2]：

定理1 如果xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，对任意α>0有

∑nk=1xk+1xkα≥（n2+1）αnα-1（2）

成立.

式（2）称为M-D不等式[6]，文献[6]对其研究进展有着详细的介绍与分析.

本文另辟蹊径，利用控制不等式理论给出式（2）一个控制证明，并且对xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1时，给出关于∑nk=1xk+1xkα的相关式∑nk=11xk-xkα一个相关不等式，得到了一些有趣的结果.

为了证明研究结果需要下面的定义与引理.

定义1[3，5] 设x=（x1，…，xn），y=（y1，…，yn）∈Rn.

ⅰ.若∑ki=1x[i]≤∑ki=1y[i]，k=1，2，…，n-1，且∑ni=1xi=∑ni=1yi，则称x被y所控制，记作x

ⅱ.设ΩRn，φ：Ω→Rn，若在Ω上x

定义2[3，5] 设ΩRn.

ⅰ.若x∈ΩPx∈Ω，n×n置换矩阵P，则称Ω为对称集.

ⅱ.设Ω为对称集，φ：Ω→R.若对任何x∈Ω和任意n×n置换矩阵P，都有φ（Px）=φ（x），则称φ为Ω上的对称函数.

引理1[4] 设ΩRn是有内点的对称凸集，φ：Ω→R在Ω上连续，在Ω的内部Ω0可微，则φ在Ω上Schur凸（凹）φ在Ω上对称且x∈Ω0，有

（x1-x2）φx1-φx2≥0（≤0）.（3）

引理2[4] 设x=（x1，x2，…xn）∈Rn，有下列控制不等式成立：

（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x）），（4）

其中An（x）=∑ni=1xin.

定理2 对f（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，当00时，

f（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn Schur凸.

证明 分两种情况证明：

ⅰ.当0

令f（x1，…，xn）=∑nk=11xk-xkα，显然，f（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn对称.

fx1=-α1x1-x1α-11x21+1，

fx2=-α1x2-x2α-11x22+1，

不妨设0

fx1-fx2=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-1·1x21+1.

令g（x）=1x-xα-11x2+1，于是

g′（x）=-（α-1）1x-xα-21x2+12+1x-xα-1·-2x3

=1x-xα-2（1-α）1x2+12+1x-x-2x3

=1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2（2-α）

≤1x-xα-2（1-α）+1x2-1-αx2+2≤0

g（x）单调减.因此，有fx1-fx2≥0Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0.

ⅱ.当0

令g1（x）=1x-xα-1，则

g1′（x）=1x-xα-1′

=（α-1）1x-xα-2（-x-2-1）≥0，

所以当0<α<1时g1（x）在（0，1]上是非负单调增函数.

而fx1-fx2

=α1x2-x2α-11x22+1-1x1-x1α-11x21+1

=αgα-11（x2）1x22+1-gα-11（x1）1x21+1≥0

Δ1：=（x1-x2）fx1-fx2≥0.

綜合ⅰ、ⅱ，由引理1知f（x1，…，xn）关于x1，x2，…，xn Schur凸.

定理3 对α>0，xk>0（k=1，2，…，n），∑nk=1xk=1，有不等式

∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1（5）

成立.

证明 由引理2控制不等式：（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定义1有

f（x1，…，xn）≥f（A1（x），…，An（x）），

即∑nk=11xk-xkα≥n1An（x）-An（x）α.

于是，当∑nk=1xk=1时，有

∑nk=11xk-xkα≥（n2-1）αnα-1

成立.

推论1 对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式：

1x1-x12+1x2-x22≥92（6）

成立.

证明 定理2中令α=2，n=2，即有1x1-x12+1x2-x22≥92.

推论2 对x1>0，x2>0且x1+x2=1有不等式：

1x1-x1+1x2-x2≥6（7）

成立.

证明 定理2中令α=12，n=2时就有

1x1-x1+1x2-x2≥312=6.

推论3 当0<β<π2，有

cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6（8）

成立.

证明 推论2中令x1=sinβ，x2=cosβ，于是

1x1-x1+1x2-x2=1sin2β-sin2β+1cos2β-cos2β

=cotβ1+sin2β+tanβ1+cos2β≥6.

最后我们给出定理1的控制证明，可以看出下面的证明比较D.S.Mitrinovic'的证明要简明.

证明 令h（x1，x2，…，xn）=∑nk=11xk+xkα，显然，h（x1，x2，…，xn）关于x1，x2，…，xn对称.

hx1=α1x1+x1α-1-1x21+1，

hx2=α1x2+x2α-1-1x22+1，

不妨设0

hx1-hx2

=α1x1+x1α-11-1x21-1x2+x2α-11-1x22

=α1x2+x2α-11x22-1-1x1+x1α-11x21-1.（9）

类似定理2的证明，我们分两种情况.

ⅰ.当0

令g1（x）=1x+xα-1，则

g1′（x）=1x+xα-1′

=（α-1）1x+xα-2（-x-2+1）≤0，

所以，g1（x）在（0，1]上是非负单调减函数.

ⅱ.当0

令g（x）=1x+xα-11-1x2，则

g′（x）=（α-1）1x+xα-21-1x22+1x+xα-12x3

=1x+xα-2（α-1）1-1x22+1x+x2x3

≥0.

因此，g（x）在（0，1]上是单调增函数.

综合ⅰ、ⅱ，结合式（9）有：当00时Δ2：=（x1-x2）hx1-hx2≥0，又由引理1知h（x1，…，xn）关于x1，x2，…，xn Schur凸.

再由控制不等式（x1，…，xn）>（An（x），…，An（x））及定理1、定义1有

h（x1，…，xn）≥h（A1（x），…，An（x）），

即∑nk=11xk+xkα≥n1An（x）+An（x）α.

于是，当∑nk=1xk=1时，有

∑nk=11xk+xkα≥（n2+1）αnα-1

成立.

【参考文献】

[1]G H Hardy.A Course of Pure Mathematics[M].Cambridge：Cambridge University Press，1948：34.

[2]D S Mitrinovic'.Analytic Inequalities[M].New York：Springer，1970：282.

[3]王伯英.控制不等式基礎[M].北京：北京师范大学出版社，1990.

[4]石焕南.受控理论与解析不等式[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

[5]A M Marshall，I Olkin.Inequalities：theory of majorization and its application[M].New York：Academies Press，1979.

[6]匡继昌.常用不等式[M].济南：山东科学技术出版社，2010.