用待定系数法求解概率递推关系

卫久钰

【摘要】用全概率公式求解概率问题常常得到概率递推关系Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1）.本文用待定系数法得出了该概率递推关系的公式，使用该公式能使该类问题的运算得到简化.

【关键词】概率;概率递推关系;待定系数法

若概率{Pn}满足：Pn+1=aPn+b（a≠1，b≠0，1），設Pn+1+λ=a（Pn+λ），则Pn+1=aPn+（a-1）λ，∴b=（a-1）λ即λ=ba-1，∴Pn+1+ba-1=aPn+ba-1，

所以Pn+1+ba-1为等比数列，首项为P1+ba-1，公比为a.

∴Pn+ba-1=P1+ba-1·an-1，即{Pn}的通项公式为Pn=P1+ba-1·an-1-ba-1.

下面举例说明该公式的应用.

例1 m个人相互传球，球从甲开始传击，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-1个人中的任何一个，求第n次传球时仍由甲传击的概率.

解 设事件Ai=“第i次传球时由甲传击”，

记Pi=P（Ai），i=1，2，….

则有P1=1，P（Ai+1|Ai）=0，P（Ai+1|Ai）=1m-1.

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×0+（1-Pn-1）·1m-1，

得递推关系

Pn=11-mPn-1+1m-1，n≥2，

由上述公式可得

Pn=1m1-11-mn-2，n=2，3，….

例2 甲、乙掷击，两人轮流掷一颗骰子，甲先掷，每当某人掷击1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷.试求第n次由甲掷的概率.

解 设事件Ai=“第i次传球时由甲掷骰子”，

记Pi=P（Ai），i=1，2，….

则有P1=1，P（Ai+1|Ai）=56，P（Ai+1|Ai）=16，

所以由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（An-1）·P（An|An-1），

得递推关系

Pn=56Pn-1+16（1-Pn-1）=23Pn-1+16，n≥2，

由上述公式可得Pn=121+23n-1，n=2，3，….

例3 甲口袋有1个黑球、2个白球、乙口袋有3个白球，每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋.求交换几次后，黑球扔在甲口袋中的概率.

解 设事件Ai=“第i次交换后黑球仍在甲口袋中”，

记Pi=P（Ai），i=0，1，2，….

则有P0=1，P（Ai+1|Ai）=23，P（Ai+1|Ai）=13，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1×23+（1-Pn-1）·13，

得递推关系Pn=13Pn-1+13，n≥1，

由上述公式可得Pn=121+13n，n=1，2，….

例4 假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨，若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为P，变得概率为1-P.设第一天无雨，试求第几天也无雨的概率.

解 设事件Ai=“第i天也无雨”，

记Pi=P（Ai），i=1，2，….

则有P1=1，P（Ai+1|Ai）=P，P（Ai+1|Ai）=1-P，

由全概率公式

P（An）=P（An-1）·P（An|An-1）+P（Ai+1）·P（An|An-1）=Pn-1·P+（1-Pn-1）·（1-P），

得递推关系Pn=（2P-1）Pn-1+1-P，n≥2，

由上述公式可得

Pn=12[1+（2P-1）n-1]，n=2，3，….

通过上述例题我们可以看出待定系数法为解决概率递推问题提供了极大便利.

【参考文献】

[1]陈兆权.与递推数列有关的概率问题[J].魅力中国，2009（26）：204.

[2]章庭远.概率与递推数列的交汇题[J].数学通讯，2010（Z1）：46-47.

[3]常军.用递推思想探求概率问题[J].数理化学习（高中版），2007（24）：6-8.

[4]吴美捷.浅谈待定系数法[J].当代经理人，2006（5）：186-187.