矩阵等价、相似、合同的判断

张慧芬　郭建敏

【摘要】本文主要给出了考研高数题型中，判断矩阵等价、相似、合同的方法，并举例说明该方法的使用.

【关键词】矩阵;等价;相似;合同

【基金项目】山西大同大学校级科研项目（2015K5）;山西大同大学教改项目XJG2017109.

线性代数是高等学校经济、理工类等专业的一门公共必修课，也是考研高数中常考的内容，学生在处理这一题型时，常常猜答案，一直没有很清晰的思路来得出答案，本文就这三种矩阵关系的区别与联系给出一些结论，希望在这一类问题上有所帮助.

一、概念描述[1]

等价：设A与B为m×n矩阵，存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，则称A与B等价.

相似：设A与B为n×n矩阵，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似.

合同：设A与B为n×n矩阵，存在可逆矩阵P，使得PTAP=B，则称A与B合同.

二、区别与联系

1.等价只要求矩阵A与B是同型矩阵，不一定是方阵，但相似和合同要求矩阵A与B必须是同型矩阵中的方阵.

2.矩阵的等价、相似、合同实际都是矩阵之间的初等变换，只不过变换方式不一样.

说明如下：

由可逆的充要条件，A可逆A=P1P2…PS，且P1，P2，…，PS是初等矩阵.

故等价的PAQ=B，即存在m阶初等矩阵P1，P2，…，PS和n阶初等矩阵Q1，Q2，…，Qt，使得

PS…P2P1AQ1Q2…Qt=B;

相似的P-1AP=B，即存在n阶初等矩阵

P1，P2，…，PS，使得

P-1S…P-12P-11AtP1P2…PS=B;

合同的PTAP=B，即存在n阶初等矩阵P1，P2，…，PS，使得

PTS…PT2PT1AtP1P2…PS=B.

三者都是相當于对A任意做有限次初等行变换和初等列变换.但是相似和合同做初等行变换和列变换的次数是一样的，相似做一次列变换，再做一次相应的逆行变换，合同做一次列变换，对应地做一次同样的行变换.

三、判 别

在判别矩阵的三种关系时，秩是等价关系的不变量，而相似和合同也是等价的，秩也不变，再结合特征值和正负惯性指数来区别相似和合同，注意合同仅限于对称阵.

（1）矩阵A与B等价R（A）=R（B）.

（2）可以借助一些必要条件来判定矩阵不相似：

若A与B相似A与B有相同的特征值;

A与B有相同的迹;

|A|=|B|.

但如果以上的必要性成立，不再能说明矩阵的相似，这时一般利用取其重特征值时构成的矩阵的秩，即用R（A-λE）来进一步判定.

（3）对实对称矩阵，有一些可以直接用的结论：

① 实对称矩阵A与B相似A与B具有相同的特征值.

证明

A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B.故

|B-λE|=|P-1AP-λE|

=|P-1AP-P-1λEP|

=|P-1（A-λE）P|

=|P-1||A-λE||P|=|A-λE|可知，特征值相同.

实对称矩阵A与B有相同的特征值，存在正交矩阵使得A与B一定相似于相同的对角阵，由相似关系的传递性知，A与B相似.

证毕.

② 实对称矩阵A与B合同二次型xTAx与xTBx具有相同正负惯性指数.

证明

A与B合同，即存在可逆矩阵P，使得PTAP=B.由于B是实对称矩阵，故一定存在正交矩阵Q，使得

QTBQ=Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），

∴Λ=QTPTAPQ=（PQ）TAPQ.

即A与B都合同于对角阵Λ.

∵xTAx=x=（PQ）yyT（PQ）TA（PQ）y=yTΛy，

xTBx=x=QzzTQTBQz=zTΛz.

可知二次型xTAx与xTBx具有相同正负惯性指数.

设Λ=Ep-EqOn-p-q，即正惯性指数为p，负惯性指数为q.

二次型xTAx与xTBx具有相同正负惯性指数，一定存在可逆的线性变换x=Py与y=Qz，使得

xTAx=yTΛy，xTBx=zTΛz，

所以A与B都合同于Λ，由合同的传递性知A与B合同.

证毕.

③ 实对称矩阵A与B相似A与B合同.

证明 实对称矩阵A与B相似，A与B具有相同的特征值，即存在正交矩阵P，Q，使得

PTAP=Λ，QTAQ=Λ.

从而（PQT）TA（PQT）=QPTAPQT

=QΛQT=Q（QTBQ）QT=B，

故A与B合同.

四、举 例

例1 判定下列矩阵哪些等价、相似、合同.

A=111000000，B=110001000，

C=100000000，

D=000011011.

解 R（A）=R（C）=R（D）=1，R（B）=2.

所以A，C，D等价.

由R（B）=2≠1可以看出相似排除B，A，C的特征值是1，0，0.D的特征值是2，0，0.可以看出相似排除D.取二重特征值0时，3-R（A-λE）=3-R（A）=2，有两个线性无关的特征向量，A可相似对角化，A与C相似.

合同只限于实对称矩阵，观察C，D的特征值.C，D的正惯性指数都为1，负惯性指数都为0，由②得C，D合同.

例2 （2018年考研题）已知矩阵

A=200020001，B=210020001，C=100020002.

则（）.

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，B与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

D.A与C不相似，B与C不相似

解答 可求出A，B，C的特征值都是2，2，0，且A，C都是实对称矩阵，由①得A与C相似.对矩阵B，3-R（B-2E）=3-2=1，只有一个特征向量，B不可相似对角化，B与C不相似.所以选B.

【参考文献】

[1]高志强，庞彦军.线性代数[M].北京：科学出版社，2016.

[2]吴勃英.线性代数与空间解析几何学习指导[M].北京：科学出版社，2004.

[3]智婕.矩阵等价、相似、合同的联系[J].牡丹江师范学院学报，2011（76）：2-3.

[4]蒋卫华，王洪滨.线性代数教学中两组概念的处理[J].大学数学，2005（21）：120-123.

[5]蔡鸣晶.矩阵的三个等价关系辨析[J].考试周刊，2014（68）：62.

[6]胡婷.论矩阵的三种等价关系[J].科教导刊，2012（32）：255-256.