从应用实例出发的线性代数教学模式探讨

◎马纪英 (石家庄邮电职业技术学院，河北 石家庄 050000)

作为基础数学课程之一，线性代数在培养学生的抽象思维、计算与逻辑推理等能力中起到了关键的作用.想要通过线性代数来强化学生实践应用能力，教学中应先打好知识基础，再增强学生应用知识处理实际问题的能力.在“知识爆炸”的素质教育时代背景下，从应用实例来展开线性代数课程教学并增强学生应用能力尤为重要.

一、线性代数基于应用实例展开教学的必要性

作为非数学专业的一门必修课，线性代数的基本理论及方法在物理、数学等学习中存在很重要的应用，是学生学好数学、专业课必备的一门储备知识课程.这门课的特点就是涉及广泛概念抽象，经常被视为符号数学，理解、学习起来异常困难.但是，线性代数具有丰富的推理内容，在帮助学生增强逻辑思维、归纳判断、问题分析与解决等方面的能力具有深远的意义，同时能促进学生掌握数学思想、提高数学素养等.在传统的线性代数课程教学模式下，数学老师主导学生的学习，学生甚少思考，老师也极少关注到学生应用能力的提升.但实例应用基础下的教学模式则有别于以往的教学模式，常以学生为课堂核心，引导学生化被动为主动，从学生的兴趣点切入线性代数，以激起他们更强烈的学习动力与求知欲望.如此一来，通过应用实例，师生更多地交流、互动，更有效地帮助学生进一步提高学习线性代数的效率.所以，老师扮演的是课堂的引导者，并不是单纯的教书者.通过设置适宜的实例、创新教学模式等来帮助学生提高能力与素质已然发展成为革新线性代数的一大趋势.

二、从应用实例来展开线性代数课程教学的有效模式

1.注重应用背景分析，介绍知识源头

线性代数中，概念相对抽象，要深入理解基础概念，不仅需要掌握概念的内涵及外延，而且还应介绍有关知识的背景资料及发展情况，融入一些兼具创造力与想象力的有趣数学故事.这么一来，便能帮助学生大致了解知识的源头，并拓宽学生的学习面，提升学生的数学素养.

譬如，在线性代数中，矩阵是基础理论.为更深入地理解、学习矩阵概念，教学中可基于三家工厂均加工4种产品的应用实例，来假设首家工厂加工的4种产品是首行，而第二家工厂加工的4种产品是第二行，第三家加工的4种产品是第三行，然后形成具有三行四列的一个表格，以体现出以上三家工厂加工出来的4种产品加工水平，再从表格内部统一抽象出基本的矩阵概念.在以上运算的过程中，除了有提出矩阵基础概念外，还让学生体会到应用矩阵的现实意义.此外，为了剖析矩阵运算，教师引导学生通过矩阵A、B依次来代表2018、2019年以上三家工厂加工的4种产品产量，再加上A、B相对元素形成的矩阵，就是这两年来以上三家工厂加工各种产品的总水平，然后顺势引出矩阵加法.

又如，基于旋转变换基础下的合成问题来导入矩阵乘法；基于信息编解码应用问题来导入逆矩阵基础概念及逆矩阵的求解方法；基于几何向量共面问题来分析向量组之间的线性相关性；基于工程技术领域振动应用问题来引进特征向量、特征值的基础概念并分析有关理论等.同时，教师还应尽量使用学生熟悉的生活中的应用案例来导入“线性代数”领域的基础概念，以引导学生了解线性代数和生活实践的关联性.针对这样的现实问题，学生就可以及时转化成数学问题，并通过数学知识来正确解答.在上课时通过实际问题，导入数学概念及方法，学生便能更深刻地体会数学的优势，了解实际问题和理论知识的关联.

2.引进建模思想，理论与实际相联

数学建模是指基于数学语言，经过简化抽象可以模拟并处理实际问题的一种数学模型，再经由数学模型来处理实际问题.作为有效的数学方法之一，建模法通过数学语言描绘具体现象，有助于学生理解、延伸知识，并学会联系数学理论和实践问题，来充分彰显数学价值，形成培养创新应用型人才的一种教学模式.

譬如，在学习“线性方程组”中，教师便可这样提问：某市区施行单行道的通行规定，并已测得几个交通路段的通行流量(车辆数/时)，请问可否计算出各个路段上的通行流量？倘若不可以，需要哪些交通路段再增设相应的监测点，就能够算出各结点的通行流量？

解析假定各结点的流入流量与流出流量相等(见图1).按照题中等量关系成立方程组(单位：百辆)：

以上从实际问题出发，通过抽象得到线性方程组，引导学生深入体会创建模型的整个过程.在告知学生线性方程组的具体解法后，再分析解答该方程组，求得以下一般解：

所以，仅仅需要测得路段x5的通行流量，就能够算得其余路段的通行流量.例如，如果检测得到x5=2，则x1～x4依次为3、5、9、6(单位：百辆).依此结论，x3段上通行着最多的车辆，需要重点做好疏通工作.

此外，“线性代数”教材中涉及的很多基础概念、方法，均渗透着基础建模思想.基于数学建模的手段逐步引进数学基础理论，除了可以引导学生深刻体会建模全程外，还可以教会学生理论与实际相联的方法.同时，学生还能在一个愉悦的环境中，掌握难懂的代数知识，达到事半功倍的效果.然而，考虑到线性代数只有有限的课时，倘若设置的实例太过复杂，则在教学中就会问题复杂化.因此，教师在具体建模中，要选择简单的可直观体现知识的教学实例.此外，针对有兴趣深入探讨建模知识的学生，教师还可教导他们广泛收集建模资料，认真查阅刊物上与数学建模有关联的论文，并多多鼓励他们加入建模竞赛活动.这么一来，便能够有效培养学生的自主创新能力，充分调动他们学习、探索数学知识的积极性.

3.基于数学软件增强学生知识应用能力

为了有效培养优秀的应用型人才，促进学生逐步增强实践应用知识的技能，应在平日的教学中，融合有关的计算机应用软件工具.例如，MATLAB软件就是一款专门针对数学科学的计算软件，为学生营造一个可视化、交互式的计算环境，并程序化“线性代数”中的行列式、矩阵、线性方程解答等的数学问题，并统一提出可广泛通用的一种方案.因此，从某种程度上讲，软件工具MATLAB刚好能够达到“线性代数”教学的目标.

所以，学习“线性代数”可从线性方程组、行列式、逆矩阵等出发，适当穿插讲解软件工具MATLAB，再利用两课时，引导学生展开上机操作，学会通过计算机软件来正确解答线性代数中常见的计算行列式、求解线性方程组、计算逆矩阵等方面的实际问题.在这样的上机实践教学模式下，从应用实例出发，可以收到以下效果：一方面，传统求解数学问题的方法都是直接解答，而应用软件来处理数学问题的方法则十分新颖，能够引导学生深入体会计算机处理数学问题的新内容.另一方面，为了培养应用型优秀人才，应注意在实践中有效联系理论知识，重结果而轻过程.因为基于数学软件的教学模式，仅需要从实例出发来操作软件，整个计算过程是经由软件工具来完成的，无须从数学上予以推理论证.以上是学生在毕业以后，面临实际问题会经常用到的一种办法，在培养教育应用型人才方面必不可少.

4.按专业特点设置应用案例

在大学一般会在一年级开设“线性代数”课，学生一般认为该门课就是纯粹的数学课，内容与专业学习无甚联系，很多学生对这门课程逐步失去学习的兴趣及动力.鉴于此，教师应避免纯粹地讲授“线性代数”知识，而要从学生的专业出发，在具体的教学中尽量选用与专业知识有关的应用实例，展开实际问题并深入提炼理论知识.再反过来活学活用，正确解答实际问题，尽可能地彰显出“线性代数”的典型专业特点.

譬如，在学习“线性方程组”时，针对经管类学生，可选用有关生产、运输交通等领域的劳动力分配划分、资金分配等的应用实例；针对电信类学生，可选用有关网络的应用实例；针对信息或计算机类学生，可选用图形处理的应用实例；针对地理类学生，可选用行星轨道应用实例等.

三、结语

总之，讲授线性代数应联系基本理论与实践应用，引导学生学以致用，增强学习知识的欲望.同时，任课教师还应帮助学生拓宽知识面，熟练掌握本专业知识的同时，结合其他专业的相关知识，增进交流沟通，基于与其他专业相融合的应用实例，带领学生更深入地学习.这么一来，便能及时革新线性代数的固化教学模式，推行理论联系实际的教学模式，为社会培养出大量的应用型优秀人才.