新高考数学开放性问题研究和教学对策

◎张耀雄 (佛山市顺德区第一中学,广东 佛山 528300)

引 言

新课改背景下，传统的教育教学方式正逐渐被创新性的方式取代，学生的学习方式也发生了改变.开放性教学作为一种新的教学模式，近几年来成为教学中必不可少的一部分.试卷上的开放性试题也随之增加，这对教学模式的创新应用提出了更高的要求.因此,教师要根据新课标教学要求、学生实际学情、高考考查方向,优化教学策略.

一、新高考中开放性试题的特点

和传统的条件完备、答案确定且唯一的数学题目不同，开放性试题并不是简单的数学问题，而是数学教育问题，在考查学生数学知识掌握程度的同时，也在对学生进行教育，从而使学生得到综合性发展.从题目内容来看，其中大部分内容源自实际生活，而且题型多样，包含着丰富的数学思想；从结构形式来看，开放性试题的组成要素具有不确定性、不完备性；从解题策略来看，开放性试题需要学生采用发散性、创新性等非常规的方式进行思考；从问题答案来看，开放性试题的问题答案层次性较强，且问题形式具备可探索、可发展性，在解决问题的过程中，需要学生主动参与其中.总的来说，新高考中的开放性试题内容新颖，对学生的思维发散、思维创新能力有着较高的要求，并且需要学生主动进行思考、探索、发现，以此在解题的同时，强化学生的创新能力.

比如，在2019年高考数学北京卷中第17题就围绕着移动支付方式进行了设计.在给出了不同支付方式下，学生的支付金额后，在该题的第三问，设置了开放性问题：“已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.”

试题分析：移动支付是学生非常熟悉的内容，该试题基于这一现实生活情境提出数学问题，主要考查了学生对离散型随机变量分布列、数学期望等相关知识的应用，同时考查了学生概率模型的应用能力，让学生能够从统计规律中展开思考，对随机现象进行分析.总的来说，这道考题是对学生数学综合能力及核心素养的考验，其中重点考查了建模能力、数据分析能力.开放性问题的设置，并不规定一种答案，只要理由充分均可得分.学生可以从不同的切入点阐述相应的理由，思维的深度和广度能够进一步扩大.值得一提的是，这一问题也蕴藏着一种方式，当学生利用数学思维思考这一问题时，金钱观、消费观也会受到触动，有助于树立正确的价值观念.

二、新高考中开放性试题的难点

除了文中提及的题目，诸多高考开放性试题都为学生提供了一个展示的平台，能够让学生充分发挥出自身的逻辑推理能力、空间想象能力.可以说，开放性试题从某种层面上让高考的“选才”功能更加突出.开放性试题和传统考查方式完全不同，充分调动学生的主体性，让学生自行探索解答路径.

在解题的过程中，学生需要对自身的知识储备进行全面的检索，发散自身思维、从综合层面上解答问题，探究搜索不同的可能.但从目前来看，很多学生面对开放性试题时，没有想法，不知道该从何处入手，无法将知识和问题联系在一起，导致很多学生拿不到分数.比如2019全国Ⅰ卷第4题的“断臂维纳斯”的美,不是简单考知识,虽然也可以用不等式解出范围,但所需时间较长,若从对身高美的理解这一角度思考,则更容易得出切合实际的答案.

无法解答出开放性问题是因为大部分学生受到传统教学模式的影响，依赖性强、思维固化、知识零散，没有构建并形成完善的数学逻辑结构.这就意味着，教师需要让学生系统地掌握开放性试题的解题思路，能够在面对此类试题时有的放矢，把握思考的关键.

从实际上看，新高考中开放性试题不仅答案不固定，问题也不固定，需要学生主动思考、综合运用多种不同的解题方案，通过观察、分析、归纳、推理，从多角度、多方位入手解决难题.解题的过程中，数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养都得到了锻炼和培养，切实满足了新课标和新高考提出的“让学生养成积极主动、勇于探索的学习方式”“发展学生的数学应用意识”等要求.从新高考中开放性试题的题目特点、考查方向来看，在实际教学过程中，教师不仅要将正确的解题思路传递给学生，还要对日常的教学策略进行优化，以此使核心素养教学理念真正融入高中数学教学中，确保学生能够从容地面对开放性试题.

三、新高考中开放性试题的解题思路和教学策略

(一)解题思路

开放性试题需要学生具备创新性思维，因此教师在日常教学过程中，要让学生养成举一反三的解题习惯，强化求异思维.教师可以在不同的题目中引导学生用不同的方法，从不同的角度入手解决数学问题.学生要注重在日常做题中训练自身的创新性思维，从不同切入点解决问题，在面对开放性问题时，就能够在最短时间内发现其中的关键点，继而逐步梳理知识线索，解决问题.

开放性试题需要学生具备自主探索能力，数学学科本身就较为特殊，需要学生真正地理解知识，才能够在解题过程中应用.在日常做题时，教师要给学生足够的思考时间，引导学生独立自主地思考问题，从而对问题形成更深层次的理解，也可以让学生在思考的过程中发现知识链上的缺失点，从而及时加以补充完善.只有在日常做题时养成良好的思考习惯，才能够在面对开放性问题时有想法、有思路，不会出现一片空白的情况.教师必须认识到过度的帮助会让学生产生依赖性，久而久之，失去了自主思考的能力.

开放性试题类型较多，主要分为概念应用、知识应用、定理证明三大类，在不同的试题中需要学生采用的解题思路各不相同.以指数函数概念为例，教师可以结合数学史引导学生展开思考，切实提高学生的应用意识.而在定理证明类试题中，教师可以让学生自主推导定理，让学生明确掌握定理被证明的过程和结论，这个过程中，教师还要鼓励学生从不同角度入手，真正掌握这一结论内容.知识应用是开放性试题中最为常见的一种，教师在日常教学中可以引导学生借助生活中已有的经验展开相应的思考，以此也可以进一步激发学生的学习积极性，在探究生活问题的同时，掌握知识，了解知识规律.比如，2019新高考北京卷第12题，要求学生根据线面基本关系判断命题的真假，考查的是学生直观想象能力和创新能力，本题需将基本的知识应用在实际中，综合多方面信息展开分析.考查层次丰富，形式新颖.2020新高考山东卷第12题，融入了新定义类判断，通过创设新的定义，让学生理解其中的关键性特征，这就需要学生具备信息提取、信息处理等能力，从而正确解答题目.

(二)教学策略

数学开放性试题之所以越来越受到重视，是因为它和传统问题相比，满足了新课标中提出的核心素养的培养要求，对促进学生综合发展具有重要作用.另外，教师在指导学生解决开放性试题时，不能盲目地按照应试思路，追求短期目标，而是要从开放性试题入手打造出开放性课堂，真正提高学生的学习能力.

第一，教师要主动设计开放性教学情境.在开放性的教学情境下，引导学生主动构建数学知识结构，发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.例如，2020新高考山东卷第17题，需要学生从三个条件中任选其一，补充在题干里，然后对问题加以求解或证明.这一开放性分析考查的就是学生自主思考能力，只有真正掌握了解三角形的有关定理，才能快速选好解题策略，从而更快地完成这一道题的解答.因此教师在日常授课的过程中，可以给出一些条件不完备的题目,让学生以小组为单位，选择不同的条件展开思考，在不同的解题途径下，找到相应的答案.又或者可以给出多个条件，让学生随机选择出其中的几个条件，推理证明得到相应的结论.通过平时的开放性教学情境可以更好地激发学生主动展开思考，预测多种可能的解题路径，并能从中优选出最适合的路径，让学生对数学知识形成更深刻的认识.

第二，教师要回归教材本身，充分挖掘教材中的内容.新高考中除了试题综合性、开放性增强，还有另一个特点十分突出，就是很多试题来源于教材.在教学改革的同时，教材的版本也在不断地革新，其中的内容都是经过了反复斟酌后使用的，很多环节之间都具有关联性.教材中练习题和教学内容之间的关联性较强，而且教材中也包含了大量的开放性问题，充分借助教材展开教学活动，更有助于锻炼学生思维，从而使学生在遇到开放性问题时，能够想到和问题有关的知识内容.比如，2018年高考北京卷13题考查的就是函数单调性内容，引导学生开放性思考，对其中的批判性思维和创新意识进行调动.这就需要学生真正理解教材中的函数模型，在教材中也出现了类似的函数证明，在日常教学中进行锻炼，能够使学生的基础知识和创新能力得到巩固和提高.

第三，教师要打造出生活化的教学情境.生活化、实际性是新高考数学的一大特点，也是开放性试题的特色，因此教师可以在教学过程中，借助生活中的真实情境展开教学，利用学生的生活经验，联系数学知识，解决实际问题，对学生解决开放性试题具有极大的促进作用.比如，在课堂导入阶段，教师可以结合教学内容，参考新高考中的开放性试题，给学生提供一定的社会数据材料，打造出开放性话题，引导学生以小组为单位展开讨论.在这个过程中，学生的信息提取、分析、处理能力都会得到提高，再遇到开放性试题时也会更加从容.需要注意的是，在联系社会热点的同时，问题的设置要具备数学性，真正强化学生的数学思维，切实提高学科精神和学科核心素养.

除此之外，教师还要拉近师生关系，让学生敢于表达、敢于质疑，在不断的辩论中形成完善的数学逻辑，能够学会倾听、交流、反思，理性地处理问题.

总结：数学在高考中是十分关键的一科，新课改、新高考背景下，学生需要面对全新的试题，传统的教学模式、解题思路都需要进行创新.开放性试题作为新高考中的创新性题目类型之一，很多学生对此都感到困惑，在解题时不知该如何处理.这就需要教师在日常教学中、在解题过程中，有意识地培养学生举一反三的能力，强化学生的发散性思维，提升学生的核心素养.